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le groupe G (m, n i) est compos des lettres r m , r in+i ,,.., r_ et G {m, n i) 

 est compos de la mme manire, mais avec r,, r OT+l ,..., r_ 2 , c'est--dire 

 avec une lettre de moins que G (m, n i). Quand m = i , on a 



(2) G(i,n) = G(i,m-i) + r n G(i, n -2); 



clans la pratique il n'est pas ncessaire de former toutes les combinaisons des 

 lettres r pour en extraire celles qui doivent composer G (1, n) : ce n'est que 

 pour la dfinition que nous avons suppos toutes les combinaisons crites. 



Une lettre r m , qui fait partie de la srie complter,, r 2 ,..., r m , r, +l ,..., r, 

 concourt la formation de G (1, n), et l'on prouve que 



(3) G(r,w) = G(i,m i)x G(m-+i,n)-h r m G(i, m 2) X G(m + 2,w). 



Les groupes que nous dnotons par G (1 , n) ont avec les symboles 

 d'Euler des relations ncessaires; on en dduit facilement la loi de com- 

 position de ces symboles, et comme eux, ils sont immdiatement appli- 

 cables la rduction des fractions continues en fractions ordinaires. 



Dans leur formation successive exprime par l'quation (2), ces grou- 

 pes G(i, n) semblent exiger un calcul analogue celui des symboles 

 d'Euler; et l'on pourrait penser qu'il ne s'agit que de substituer un sym- 

 bole un autre, opration qui avance peu les questions analytiques, moins 

 que le symbole nouveau n'ait une loi de formation notablement moins com- 

 plique et plus saisissable que l'ancien. C'est l'avantage que m'a paru offrir le 

 groupe G(i,w) : il en est d'autres qui se manifesteront bientt pour l'in- 

 tgration des quations d'ordres plus levs que le second. 



On obtient, l'aide des relations prcdentes, l'valuation du nombre 

 de termes dont se compose le groupe G (m, n), problme facile et qui avait 

 dj t trait l'occasion de questions de probabilits. 



Ces prliminaires tant tablis, on s'occupe, en premier lieu, de l'qua- 

 tion linaire du second ordre : 



Y+ 2 Y +l + yY /( -4- A; 



quand n n'est pas nul, on la ramne facilement l'intgration de l'quation 

 plus simple 



(4) v ll+ = *Vm + >' n v n . 



L'expression de l'intgrale de cette quation, tablie dans le Mmoire, 





