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 On peut, au reste, s'assurer directement de l'exactitude des formules (i/j; en 

 remplaant t par tx , soit dans les premiers membres des quations (8) ou (9) , 

 soit mme dans les formules (i3). Ainsi, en particulier, la seconde des for- 

 mules (i3) donnera videmment 



*i(?x) = It' lt + in x"= r'x-'l^'x"^ 

 = t-'x-' If'x" = r'x-* ty(x). 



Il est bon d'observer encore que x (x) est prcisment ce que devient 

 le produit 



x^(tx) Zt n '+ n x"^<, 



quand on y remplace t par t . 



En partant des formules (i4) on pourra aisment tablir les quations 

 linaires que vrifieront des puissances quelconques des fonctions reprsentes 

 par x [x) et par (|i (x). En effet, si l'on dsign par m un exposant quelconque , 

 positif ou ngatif, entier ou mme fractionnaire , on tirera des formules (i4) 



m 



( 1 5) [x (x)]'" s x m [x (tx)] m , [<j> {x)]'" = t m x'" \<\> (f x)]'". 



Donc , si l'on pose pour abrger 



on aura 



m 



x (*) = e x m x (tx), v (x) = * m x' n y (t* x). 



A l'aide de ces dernires quations , ou , ce qui revient au mme , 1 aide des 

 formules (1 5), on pourra aisment, lorsque m sera entier et positif, dve- 

 lopper 



[X (*)?" et [ty(x)]">, 



suivant les puissances entires, positives, nulle et ngatives de la variable 

 x. On trouvera ainsi, par exemple, 



t p, S \^{x)T = ^ tmni xmn -+- k i 2t"" , '- h2m x"" 1 ** + k 2 Zt" ln, + * m x'" n+u 



V / I _i_ t y/m' + J(ffl-l)n ~,mn-+-m-i 







