( 5 7 9) 

 Posons, dans ce mme cas , 



(9) J(x) = 2T n x>\ 



Je sigue I s'tendant toutes les valeurs entires positives, nulle: ou ngatives 

 de .r, et T dsignant le coefficient de x" damj\x). 11 semble, au premier 

 abord, que la formule (8) entranera l'quation de condition 



T_, + T n t*"-=o, 

 de laquelle on conclurait 



T= (- i)"Tr"\ 



Ttant la mme chose que T , et, par suite, 



j\x) = T2(-i)"r n, x". 



Cependant, cette dernire quation est videmment inexacte; et Ion s'en 

 trouve mme immdiatement averti par cette seule circonstance que l'ex- 

 pression 2t~"'x" est dpourvue de sens, attendu qu'on ne peut sommer la 

 srie divergente dont le terme gnral est 



( i)"r n V. 



Mais, pour retrouver des formules exactes, il suffira d'observer que , dans 

 l'hypothse admise, f(x) se dcompose en fractions simples dont une seule, 



r tx~ 



offre un dveloppement qui change de nature quand X est remplac par 

 t 2 x. Donc, avant de recourir la formule (8), on devra retrancher le dve- 

 loppement de cette fraction, du dveloppement ej '(x). Alors, la place de 

 la formule (9), on obtiendra la suivante 



(lo) j/(*)-ri^ = T - +( T - - ')*-' +(^ 2 - *V' + 



En remplaant, dans cette dernire, xpar t*x, et ayant gard la formule (8), 

 on formera l'quation 



tx \j(x)- _l_]+T-i+(T_ l -)- 8 ^ , + (T_ 1 -^-*a:- + ... 



-4- T,x + T 2 x 2 -t-...=-o; 



