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s'tendent aux nombres complexes, et cela peut tre utile mme en algbre. 

 Ainsi on pourra appliquer aux nombres complexes les rgles ordinaires re- 

 latives la recherche des racines rationnelles des quations et de leurs di- 

 viseurs rationnels proprement dits. Dans ce but on appellera diviseur ration- 

 nel tout diviseur de la forme P 4- Q \/ ioPetQ seront rationnels dans 

 le sens ordinaire du mot, P ou Q pouvant d'ailleurs se rduire zro. Une 

 quation irrductible sera celle dont le premier membre n'a aucun diviseur 

 de cette forme P + Q y T. Les thormes qui servent la rsolution des 

 quations conserveront presque tous leur nonc. Nous citerons en particu- 

 lier celui qu'Abel a donn (Journal de M. Crelle, tome IV, page i4g) la fin 

 de son Mmoire sur une classe d'quations algbriques : Soit y (X) = o une 

 quation algbrique quelconque, dont toutes les racines peuvent tre expri- 

 mes rationnellement par l'une d'entre elles que nous dsignerons par X. 

 Soient 0(X) et Q, (X) deux autres racines quelconques; l'quation propose 

 sera rsoluble l'aide de radicaux si l'on a 



fl[?,(X)] = M0(X)]. 



La proposition restera exacte et la dmonstration ne changera pas en ad- 

 mettant des quantits rationnelles complexes et en prenant pour 6 (X), $, (X), 

 /(X) des fonctions de la forme P -+- Q y i. Abel se proposait d'appliquer 

 son thorme aux quations relatives la division du primtre de la lem- 

 niscate. La mort l'a empch d'excuter son dessein. Du moins, il n'a, que je 

 sache, trait nulle part le cas de la division par un nombre premier 4v -I- 3. 

 Mais il est bien facile de suppler son silence ; il n'y a qu' suivre dans leur 

 cours naturel les dveloppements des principes qu'il a poss lui-mme. C'est 

 ce que je vais essayer de prouver en prenant pour diviseur un entier quel- 

 conque rel ou complexe, premier ou compos, p ou p -+- q y/ i. 



2. Nous adopterons ici les notations d'Abel dans ses Recherches sur 

 les jonctions elliptiques (Journal de M. Crelle, t. II et III), mais en les 

 appliquant spcialement au cas de la lemniscate. Ainsi les deux modules e, c 

 seront gaux entre eux et l'unit; l'indice sr relatif la priode imaginaire 

 sera gal l'indice u relatif la priode relle. En posant 



r* dx 



/ / : = g 



on aura 



* = ?(<*), /(*) = v/i-f^a), F(a)= \/i+?> a (a), 



