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si l'un de ces deux nombres est pair et l'autre impair; R dsignant dans les 

 deux cas une fonction rationnelle complexe de f 2 (a) ou x 2 . 



>> En rsum, pour un multiple entier m, rel ou complexe quelconque, 

 <p(mu) est de l'une des deux formes f(a)f(a) F(a)R, <p(a)R, R dpendant 

 rationnellement de <p 2 (a) ou x 2 , et pouvant en consquence s'exprimer par 

 une fraction irrductible dont le numrateur T et le dnominateur S soient 

 des fonctions entires de x 2 . Il est bon d'observer que <p a (ma) est aussi fonc- 

 tion rationnelle de 9* (a) [*]. 



3. Le problme de la division du primtre de la lemniscate par l'entier 

 m, rel ou complexe, revient au fond dterminer les valeurs de (a) pour 

 lesquelles on a 



y (ma) = o; 



et comme les quations tp(a) = o, f (a.) = o, F(a) = o n'offrent aucune 

 difficult, on comprend que tout consiste rsoudre l'quation R = o, ou 

 plutt = o [**]. 



> Comme T est fonction entire de X 2 , nous ferons x 2 = X, et nous 

 chercherons les racines X [***]. L'expression transcendante de ces racines est 

 facile dduire des principes d'Abel, fonds sur la considration de la 

 double priode des fonctions elliptiques. L'une d'entre elles, que nous dsi- 

 gnerons spcialement par X, est 



x = (=) 



[*] En changeant a en ay 1, y (a) et <p [ma) se changent en y ^Ttp(a), y' itp(wa); <p'(a) 

 devient 2 (a) ; quant au produit /(a.) F(a) = y 1 <p' (a) , il conserve son ancienne valeur. 

 Dans les expressions de <f(ma), il faut donc que R ne change pas en remplaant ? 2 (a) ou x* 

 par <p ! (a) ou x'. Donc R , S, T sont fonctions rationnelles , non-seulement de x 2 , mais 

 mme de x*. On voit aussi que y'(raa) est fonction rationnelle de '(a). 



[**] Si l'on voulait prouver que cette quation n'a pas de racines gales, il faudrait recourir 

 au procd d'Abel (Journal de M. Crelle, t. HI, p. 164 et i65). 



[***] D'aprs ce qu'on a vu plus haut, T est mme fonction entire de x 1 ; on pourrait 

 prendre x* pour inconnue (c'est ce qu'a fait Abel); et, comme <p 4 (ma.) s'exprime ration- 

 nellement par <p 4 (oc), les raisonnements qui suivent subsisteraient sans aucune modifica- 

 tion. Mais il y a quelque chose de plus gnral ne faire usage que du carr x'; la mthode 

 en devient plus facile tendre aux autres cas des transcendantes elliptiques de premire 

 espce , pour lesquelles la division de la fonction complte s'effectue par radicaux en vertu 

 d'une relation particulire existant entre les modules e , c, ou plutt entre les indices w, a. 



