(64i ) 



l'on obtiendra sera l'une des expressions que M. Kramp a dsignes sous le 

 nom de factorielles . Mais si les seconds termes des binmes varient en pro- 

 gression gomtrique, le produit obtenu sera une autre espce de factorielle 

 dont les proprits remarquables mritent d'tre signales. Il importe de 

 distinguer l'une de l'autre ces deux espces de factorielles, en indiquant, s'il 

 est possible, l'aide du langage mme, le mode de formation de chacune 

 d'elles. Pour atteindre ce but, nous dsignerons gnralement sous le nom 

 de jactorielles des produits composs de divers facteurs que nous suppose- 

 rons, pour l'ordinaire , reprsents par des binmes dont les premiers termes 

 seront gaux; puis, nous appellerons jactorielles arithmtiques celles dont 

 les facteurs varieront en progression arithmtique; et factorielles gom- 

 triques celles qui auront pour facteurs des binmes dont les seconds termes 

 varieront en progression gomtrique. Dans ce dernier cas , la raison de la 

 progression gomtrique sera en mme temps ce que nous appellerons la 

 raison de la factorielle gomtrique. Le premier terme de la progression, ou 

 le second terme du premier binme, sera la base de la factorielle. 



Lorsque, dans une factorielle gomtrique, le premier terme de chaque 

 facteur est une constante qui diffre de l'unit , il suffit videmment de divi- 

 ser la factorielle par cette constante leve la puissance dont le degr est le 

 nombre mme des facteurs, pour obtenir une autre factorielle dans laquelle 

 chaque facteur a pour premier terme l'unit. 



Eu gard cette observation , on peut se borner considrer, parmi les 

 factorielles gomtriques, celles qui offrent pour facteurs des binmes dont 

 chacun a pour premier terme l'unit. C'est ce que nous ferons dsormais. 

 D'ailleurs, nous nous proposons de considrer ici spcialement les facto- 

 rielles gomtriques , composes d'un nombre infini de facteurs; et il devien- 

 dra ncessaire de rduire l'unit le premier terme de chaque facteur, dans 

 une semblable factorielle , si l'on veut que celle-ci ne devienne pas nulle ou 

 infinie. Comme chacune des fonctions appeles elliptiques se rduit au rap- 

 port de deux factorielles, on ne doit pas tre tonn de voir les formules, 

 dduites de la considration des factorielles gomtriques, fournir, comme 

 cas particuliers , les dveloppements des fonctions elliptiques en sries , ainsi 

 que nous l'expliquerons dans la suite de ce Mmoire. 



II. Proprits diverses des factorielles gomtriques. 



Considrons une factorielle gomtrique , compose d'un nombre infini 

 de facteurs dont chacun ait pour premier terme l'unit, les seconds termes 



