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La formule (4), de laquelle on peut dduire immdiatement la formule (5), 

 a t remarque par Euler {Introductio in Analjsin infinilorum). 



Concevons maintenant que l'on multiplie l'une par l'autre les deux 

 factorielles gomtriques 



zs(x, t) =(n-x) (i-htx)(i-\-t i x). . ., 

 zs{tx~\ t)=(i-+-tx- , )(i+t a x- t )(i-h.t 3 x-'). . . , 



et dsignons, l'aide de la notation 



U(x, t), 



la nouvelle factorielle qui rsultera de cette multiplication. On aura 



-(6) n(.r, t) z(x, t)u(txr\ t), 



ou, ce qui revient au mme, 



(7) U(x, t)~(i +'f)(i +fcc)(i-W , x)...(i + tx- i )(i-+-t\v- < )..., 

 et, par suite, 



(8) x- l l(x,t)=(x^ -f- *"*)(! -M.r)(i + 2 x)...(i -htx-^j +^xr%.. 



Comme le second membre de la formule (8) ne varie pas quand on y rem- 

 place x par x~\ cette formule entrane videmment l'quation 



(9) X-iIl(x, t) = x''U(x~\ /), 



que l'on peut crire comme il suit 



(10) U(x, t) = xU(x-\ t). 



De plus, on tire des quations (6) et (2) 



U(tx, t) = zs(tx, t)vs{x~\ t), 

 zs(tx, *) = ^-f-^ vs{x-\t) = {i->r x~*)v:(tx-\t), 

 et, par suite, 



(n) n(.r, t) = x-<n(x, t\ 



C. R. , 1843, Semestre. (T. XVII, N M.) 85 



