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 relativement aux assertions capitales du Mmoire de M. de Mirbel sur les 

 vgtaux monocotyls, en attendant les Palmiers que j'ai demands et avec 

 lesquels je compte les rfuter sur tous les points. 



Tout ceci n'est donc qu'en attendant les Dattiers qui, seuls, doivent 

 nous fournir les matriaux essentiels de la discussion. 



analyse mathmatique. Sur un thorme d'Jbel; par M. Liouville. 



Abel a donn la fin de son Mmoire sur une classe dquai ions alg- 

 briques (Journal de M. Crelle, tome IV, page i4g)un thorme lgant et 

 trs-utile que l'on peut noncer ainsi : Soit %(x) = o une quation alg- 

 brique quelconque dont toutes les racines s expriment rationnellement en 

 fonction d'une seule d'entre elles que nous dsignerons para*; soient 

 6 (x), 9, (x) deux autres racines quelconques; si l'on a 



l'quation propose sera rsoluble par radicaux, en fonction bien entendu 

 des coefficients a,b, c,..., contenus dans y,(x), 0(.r),etc., coefficients 

 dont la nature peut tre plus ou moins complique suivant les cas. Ce 

 thorme est d'un usage fort commode dans la pratique, ainsi que le prouvent 

 les applications qu'on en a faites la division du cercle et de la lemniscate. 

 La condition de solubilit qu'il indique tant du reste suffisante et non pas 

 ncessaire, il est tout naturel qu'on puisse aisment le gnraliser, ce qu'Abel 

 sans doute n'a pas voulu faire pour lui conserver mieux son prcieux caractre 

 de simplicit. L'nonc qu'Abel a donn son thorme suffisait probable- 

 ment pour le but que l'illustre auteur voulait atteindre. Toutefois il est bon de 

 faire observer que de nouveaux cas de solubilit rsultent de sa dmonstra- 

 tion mme. D'abord il est bien vident que nulle condition n'a besoin d'tre 

 impose aux fonctions $ qui servent exprimer des racines trangres l'- 

 quation irrductible dont x dpend et sur laquelle seule reposent les raison- 

 nements d'Abel. Mais , en laissant de ct cette premire observation (si vraie 

 qu'elle en devient insignifiante), en admettant que l'quation % (x) = o ait t 

 rendue ou soit d'avance irrductible , on comprendra avec un peu d'atten- 

 tion que le fond de la dmonstration d'Abel portant sur des groupes de 

 racines dont on forme des fonctions symtriques plutt que sur des racines 

 isoles, on peut changer de diverses manires les conditions imposes celles- 

 ci, sans que la conclusion finale en prouve la moindre altration. Il sera 

 trs-facile de dvelopper cette remarque, et d'obtenir ainsi, par l'analyse 

 mme d'Abel, de nouveaux thormes analogues au sien. 



