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petite, ds qu'elle serait certaine, les consqueuees philosophiques n'en se- 

 raient pas moins les mmes. 



gomtrie. Thorme sur les surfaces dveloppables ; 

 par M. E. Catalan. 



Si l'on considre une ligne trace sur une surface dveloppable et la 

 transforme de cette ligne dans le dveloppement de la surface, le rapport 

 des rayons de courbure de ces deux lignes, en deux points correspondants , 

 sera gal au cosinus de l'angle form parle plan osculateur de la premire 

 avec le plan tangent la surface. 



Dmonstration. Prenons pour origine un point de la premire courbe, 

 pour axe des x la tangente en ce point, et pour plan des xj le plan tangent 

 la surface dveloppable en ce mme point. Nous aurons , laide de ces hy- 

 pothses, et en prenant x pour variable indpendante, 



dy=o, dz=o, p z=zo, = =o, d 2 x o, ds = dx, d i so. 



En appelant R le rayou de courbure de la transforme, on a, pour le point 

 considr (Calcul diffrentiel de Lacroix, tome I er , page 648), 



('<* 1 d dJ d'y 



^ = 7 OU K rjry. 

 R dx ' dx> 



Soit a) l'angle de contingence; en gnral 



donc,' pour l'origine, 



*'* () 



ou 



dx 1 



Par suite, le rayon de courbure a pur valeur 



(1) = dx * 



^ ' \fdy 7 -+- d 1 ?' 



