( 7 8o) 



Lorsque l'on divise l'une par l'autre deux factorielles rciproques dont 

 les raisons sont gales, et dont les bases varient dans un rapport donn , on 

 obtient pour quotient une fraction qui peut tre rduite une fonction el- 

 liptique, dans trois cas particuliers, savoir, lorsque les bases sont gales, mais 

 affectes de signes contraires, et lorsque le rapport des bases se trouve re- 

 prsent, au signe prs, par la racine carre de la raison. On sait d'ailleurs 

 que les trois fonctions elliptiques , dont il est ici question , sont lies la va- 

 riable que j'appelle base, de telle sorte que le logarithme de la base est ex- 

 prim par une intgrale dfinie, savoir, par une transcendante elliptique de 

 premire espce . On sait encore que ces trois fonctions elliptiques sont lies 

 entre elles par deux quations finies du second degr. Les formules que 

 fournit la thorie des factorielles rciproques , en reproduisant tous ces r- 

 sultats, nous conduisent d'ailleurs un thorme gnral, qu'on peut noncer 

 comme il suit. 



Divisez Tune par Tautre deux factorielles rciproques dont les raisons 

 sont gales , et dont les bases supposes variables conservent toujours entre 

 elles un rapport donn. Cherchez ensuite le logarithme du quotient ainsi 

 obtenu. La partie variable de ce logarithme sera la somme de deux int- 

 grales dont la premire pourra tre facilement dtermine , tandis que la 

 seconde reprsentera une transcendante elliptique qui aura pour amplitude 

 la fonction elliptique la plus simple, savoir, celle laquelle se rduit le 

 quotient des deux factorielles rciproques, quand leurs bases sont gales, 

 mais affectes de signes contraires. 



ANALYSE. 



Nommons zs(x, t) la factorielle gomtrique dont la base est x et la 

 raison t, en sorte qu'on ait 



ts(x, t) = (i -+- x) (i + tx) (i -+- t'x). . . . 

 Soit, de plus, l(x, t) le produit des deux factorielles gomtriques 



XS(X, t), 7z(tX-', t). 



La fonction Il(x, t), dont la valeur se trouve dtermine par la formule 

 U) n(x, t) = (i + x)(i -+- tx)(i -+-< s .r)...(i -+- tjr'){i -f- <*x-)..-, 

 sera elle-mme une factorielle d'une nouvelle espce ; et si, aprs avoir gal 



