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J ai reconnu en effet qu'en considrant ces questions sous un point de 

 vue nouveau, on peut les traiter par la seule gomtrie, et que cette mthode 

 conduit des rsultats lgants et prsente des avantages qui lui sont 

 propres. 



Elle est la mme pour les trois courbes, ellipse, hyperbole et parabole, 

 qui exigent, en analyse, des formules et des calculs diffrents ; 



Elle fait connatre des relations immdiates et fort simples, entre les 

 arcs compars, relations restes inaperues jusqu'ici; 



Elle conduit diverses proprits de ces arcs, d'autant plus curieuses, 

 qu'il y entre des relations de primtres et des conditions de maximum et 

 de minimum, qu'on sait tre presque toujours difficiles traiter, mme par 

 l'analyse ; 



Enfin, cette marche synthtique a encore ici un avantage particulier, 

 c'est qu'elle s'applique aux coniques sphriques , sujet d'un ordre plus relev 

 $ous le point de vue analytique. 

 On dtermine sur une conique sphrique les arcs dont la diffrence est 

 assignable, non en ligne droite, comme pour les coniques planes, mais en arc 

 de cercle; et l'on dmontre diverses proprits de ces arcs, analogues aux 

 proprits des arcs des coniques planes. Et ici le champ s'agrandit singuli- 

 rement , car on sait que toutes les propositions sphriques sont doubles , parce 

 qu' chaque figure trace sur la sphre correspond une figure supplmen- 

 taire. La courbe qui correspond une conique sphrique est elle-mme une 

 conique sphrique. De sorte que les proprits de ces courbes, relatives 

 leurs arcs, donnent lieu d'autres proprits des mmes courbes, d'un genre 

 diffrent. Une chose singulire, qu'on n'aurait pu prvoir priori , c'est que 

 deux arcs d'une conique sphrique dont la diffrence est assignable en arc 

 de cercle , donnent lieu, dans la conique supplmentaire, deux segments 

 de mme surface. Une question de diffrence d'arcs se change donc en une 

 question lgalit de surfaces , qui parat beaucoup plus simple. 



Je donne de ces propositions deux dmonstrations diffrentes, dont 

 le principe repose sur deux thormes d'une grande gnralit, dus 

 M. Ch. Dupin. Ces thormes sont si diffrents par eux-mmes, et les 

 usages que l'auteur en a faits dans ses Mmoires : De la stabilit des corps 

 flottants, et Des roules de la lumire, sont si diffrents aussi , qu'on ne verra 

 pas sans intrt ces belles proprits de l'tendue concourir ici des buts 

 presque identiques. A ces thormes gnraux il faudra joindre, dans un cas 

 une lgante proprit des sections coniques, dmontre par M. Poncelet 

 dans son Trait des proprits projectiles , et dans l'autre, une proprit des 



