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ques. On en conclut aisment divers corollaires qui expriment quelques pro- 

 prits particulires de ces courbes. Pour l'hyperbole , par exemple, on voit 

 sur-le-champ que la diffrence entre l'arc infini de la courbe, compt 

 partir d'un point quelconque, et l'asymptote aussi infinie, est une quantit 

 finie qui s'exprime par un arc de la courbe, et qui, consquemment, ne peut 

 tre assigne en ligne droite. 



L'ellipse tant la seule courbe ferme et laquelle on puisse circonscrire 

 un polygone complet , elle est la seule qui donne lieu aux thormes suivants. 



X. Si Von conoit une ellipse divise en un certain nombre d'arcs sem- 

 blables, et le polygone circonscrit , form par les tangentes aux points de 

 division , 



i. Les sommets de ce polygone seront tous situs sur une seconde el- 

 lipse dcrite des mmes foyers que la propose; 



2 . Pour un autre polygone pareil , rpondant un autre point de 

 dpart des divisions de l'ellipse , la seconde courbe sera toujours la mme; 



3. Ces polygones auront tous le mme primtre ; 



4- Ce primtre est minimum par rapport tous autres polygones du 

 mme nombre de cts circonscrits l'ellipse; 



5. Et il est maximum par rapport tous autres polygones du mme 

 nombre de cts inscrits dans la seconde ellipse. 



Ce thorme ne s'applique pas seulement aux polygones convexes for- 

 ms par les tangentes aux points de division de la courbe, prises conscu- 

 tivement pour cts ; il a lieu pour les polygones toiles de mme espce , 

 forms par ces mmes tangentes dont on prend les points de concours de 

 trois en trois, de quatre en quatre, etc., pour sommets du polygone. 



XI. Rciproquement, quand un polygone de m cts est inscrit une 

 ellipse, et en mme temps circonscrit une seconde ellipse dcrite des 

 mmes foyers que la premire, ce polygone est, par rapport la premire 

 courbe, un polygone inscrit de primtre maximum, et par rapporta la 

 seconde, un polygone circonscrit de primtre minimum. 



Ses va. cts marquent sur l'ellipse inscrite les divisions de cette courbe 

 en m arcs ayant deux deux des diffrences rectifiables. 



Une infinit d'autres polygones peuvent tre inscrits dans la premire 

 courbe et circonscrits en mme temps la seconde. 



Tous ces polygones ont le mme primtre. 



XII. Un polygone quelconque tant circonscrit une ellipse, on pourra 

 circonscrire cette courbe une infinit d'autres polygones, tels que les arcs 

 compris entre les angles de chacun d'eux tant compars, un un, aux arcs 



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