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 mais cette rduction peut avoir des inconvnients que nous allons signaler. 



Concevons qu'une fonction transcendante donne, tant multiplie par 

 un facteur linaire de sa rciproque, ou par le carr, le cube de ce facteur, 

 s celui-ci devient double, triple, etc., le produit ainsi obtenu acquire tou- 

 jours une valeur finie pour une valeur nulle de ce facteur linaire. On pourra 

 gnralement extraire de la fonction transcendante une suite de fractions 

 simples dont les numrateurs seront constants ; et si ces fractions simples for- 

 ment une srie convergente, alors, en retranchant leur somme de la fonction 

 transcendante , on obtiendra pour reste une fonction nouvelle qui aura la 

 proprit de ne jamais devenir infinie pour aucune valeur finie de la variable. 

 Cette proprit remarquable entranera une foule de consquences utiles. 

 Ainsi, par exemple, en y ayant gard, on conclura de notre thorme sur 

 la convergence des sries, que la fonction nouvelle sera gnralement dve- 

 loppable en une srie convergente ordonne suivant les puissances ascen- 

 dantes et entires de la variable. 



Mais la condition ci-dessus nonce peut n'tre pas remplie ; en d'autres 

 termes , il peut arriver que la srie forme par les fractions simples soit di- 

 vergente, et alors il importe de remplacer cette srie, s'il est possible, par 

 une srie convergente. Or, dans un grand nombre de cas , on parviendra ef- 

 fectivement ce but , en substituant aux numrateurs constants des fractions 

 simples, des numrateurs variables, ainsi que nous allons l'expliquer. 



Supposons, pour fixer les ides, que toutes les racines de l'quation qu'on 

 obtient, en galant zro la rciproque de la fonction donne, soient des 

 racines simples, et considrons la fraction simple qui a pour dnominateur 

 le facteur linaire correspondant l'une de ces racines. Le numrateur con- 

 st ant de cette fraction simple sera la valeur qu'acquiert le produit de la fonc- 

 tion donne par le mme facteur linaire, quand celui-ci s'vanouit. Or, con- 

 cevons que l'on multiplie ce numrateur constant par une fonction auxiliaire, 

 savoir, par une fonction entire. ou mme transcendante , qui se rduise 

 l'unit quand le facteur linaire s'vanouit, et qui ne devienne jamais infinie 

 pour aucune valeur finie de la variable. La fraction simple que l'on considrait 

 se trouvera remplace par une autre dont le numrateur ne sera plus constant; 

 et l'on pourra gnralement choisir la fonction auxiliaire, de telle sorte que 

 la nouvelle fraction et les fractions simples de mme espce, correspondantes 

 aux divers facteurs linaires, forment une srie convergente. D'ailleurs, cette 

 condition tant remplie , la somme des fractions simples , retranche de la 

 fonction propose , donnera pour reste une fonction nouvelle qui aura la pro- 

 prit de ne jamais devenir infinie pour une valeur finie de la variable, et 



