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qui, par suite, sera gnralement dveloppable en une srie convergente, or- 

 donne suivant les puissances ascendantes et entires de cette variable. Ajou- 

 tons que la somme des diverses fractions simples pourra tre facilement ex- 

 prime, l'aide des notations du calcul des rsidus, par une formule qui 

 s'tendra au cas mme o la rciproque de la fonction transcendante donne 

 offrirait des facteurs doubles, triples, etc. , c'est--dire au cas o des ra- 

 cines multiples vrifieraient l'quation qu'on obtient quand on gale cette 

 rciproque zro. 



Si la fonction transcendante donne devenait infinie, i pour une va- 

 leur nulle de la variable , a pour d'autres valeurs finies de la mme variable , 

 sans qu'il ft possible d'en extraire une ou plusieurs fractions simples corres- 

 pondantes la valeur nulle; on pourrait encore extraire de la fonction trans- 

 cendante des fractions simples correspondantes aux autres valeurs finies de 

 la variable, et mme, en oprant comme on l'a dit, faire en sorte que ces 

 fractions simples formassent une srie convergente. Alors la diffrence entre 

 la fonction transcendante et la somme des fractions simples serait une fonc- 

 tion nouvelle qui ne deviendrait jamais infinie pour des valeurs finies de la 

 variable, distinctes del valeur zro. Par suite, en vertu de l'extension donne 

 par M. Laurent au tborme sur la convergence des sries, la nouvelle fonc- 

 tion serait gnralement dveloppable en une srie convergente ordonne, 

 non plus suivant les puissances ascendantes, mais du moins suivant les puis- 

 sances entires , positives , nulle et ngatives de la variable. 



Les principes que nous venons d'exposer s'appliquent avec la plus grande 

 facilit au dveloppement du rapport entre deux produits de factorielles 

 gomtriques , ou mme de factorielles rciproques. On arrive alors aux 

 propositions suivantes : 



Premier thorme. Le rapport entre deux produits de factorielles go- 

 mtriques dont la raison est la mme, et dont les bases sont proportionnelles, 

 peut se dcomposer en deux parties , dont l'une est la somme de fractions 

 simples qui forment une srie convergente, tandis que l'autre partie est la 

 somme d'une srie convergente ordonne suivant les puissances entires et 

 ascendantes de l'une des bases. La premire partie disparat lorsque le d- 

 nominateur du rapport est remplac par l'unit ; et la seconde , quand ce 

 dnominateur renferme plus de factorielles que le numrateur. 



Deuxime thorme. Le rapport entre deux produits de factorielles rci- 

 proques dont la raison est la mme, et dont les bases sont proportionnelles, 

 peut se dcomposer en deux parties, dont l'une est la somme de fractions sim- 

 ples qui forment une srie convergente, tandis que l'autre partie est la somme 



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