(939 ) 

 positives, nulle et ngatives de la variable. Dj, clans une des sances de 

 l'Acadmie, le rapporteur avait montr qu'un semblable dveloppement, 

 lorsqu'il peut s'effectuer entre deux limites donnes du module de la variable , 

 pour des valeurs quelconques de l'argument de cette variable suppose ima- 

 ginaire , est toujours unique. Le nouveau thorme dmontr par M. Laurent 

 s'accorde avec cette proposition, et peut s'noncer comme il suit: 



x dsignant une variable relle ou imaginaire , une fonction relle ou 

 imaginaire de x pourra tre reprsente par la somme de deux sries con- 

 vergentes, ordonnes , l'une suivant les puissances entires et ascendantes , 

 l'autre suivant les puissances entires et descendantes de x, tant que le mo- 

 dule de x conservera une valeur comprise entre deux limites entre lesquelles 

 la Jonction ou sa drive ne cesse pas d'tre finie et continue. 



L'quation de laquelle M. Laurent dduit son thorme peut tre pr- 

 sente sous diverses formes, et se trouve comprise, comme cas particulier, 

 dans l'une de celles que renferme le premier volume des Exercices de 

 Mathmatiques. Il y a plus : le thorme de M. Laurent peut se dduire imm- 

 diatement d'une proposition tablie dans la troisime livraison des Exercices 

 d'Analyse, etc., et dont voici l'nonc : . 



Si une fonction et sa drive restent continues, pour un module de 

 la variable renferm entre deux limites donnes, la valeur moyenne de 

 la fonction, correspondante un module compris entre ces limites; sera 

 indpendante de ce module. 



Comme l'a observ M. Laurent, la formule de laquelle se dduit son 

 thorme permet d'effectuer la sparation des racines d'une quation alg- 

 brique sans recourir l'quation aux carrs des diffrences. Cette observation 

 s'accorde avec les conclusions auxquelles le rapporteur est parvenu dans le 

 XIX e cahier du Journal de V cole. Polytechnique , et plus anciennement dans 

 un Mmoire sur la rsolution des quations par les intgrales dfinies, pr- 

 sent l'Acadmie des Sciences le 11 novembre 1819, Mmoire dont un 

 extrait a t insr dans X Analyse des travaux de V Acadmie. 



L'extension donne par M. Laurent au thorme sur la convergence 

 des sries, ou plutt le nouveau thorme qu'il a tabli ce sujet, nous 

 parat digne de remarque. Ce thorme peut tre utilement employ dans 

 des recherches de haute analyse. Nous pensons, en consquence, que le 

 Mmoire, adress par M. Laurent l'Acadmie, est trs-digne d'tre approuv 

 par elle et insr dans le Recueil des Savants trangers. 



Les conclusions de ce Rapport sont adoptes. 



