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Le rapporteur a joint ce Rapport la Note suivante, qui indique la ma- 

 nire la plus simple d'arriver au thorme de M. Laurent , en partant des 

 principes tablis dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathma- 

 tique. 



analyse mathmatique. Note sur le dveloppement des Jonctions en 

 sries convergentes ordonnes suivant les puissances entires des variables; 

 par M. Augustin Caocht. 

 Soit 



une variable imaginaire dont r reprsente le module , et p l'argument. Soit 

 de plus vs (x) une fonction de cette variable qui reste finie et continue, par 

 rapport r et p, entre deux limites donnes du module r, savoir, depuis la 

 limite r = r jusqu' la limite r = R. La fonction II (r) de r, dtermine par 

 l'quation 





sera ce que nous appelons la valeur moyenne de la fonction n>{x); et comme 

 cette valeur moyenne restera invariable depuis r = r jusqu' /' = R (voir la 

 9 e livraison des Exercices d'Analyse et de Physique mathmatique) , on 

 aura 



(0 n(R) = n(r ). 



Si , le module r tant nul , ts (x) s'vanouit avec x , II (r ) s'vanouira aussi , 

 et la formule (i) donnera simplement 



(il) n(R) = o. 



Posons maintenant 



y = r e ps ^ r \ z^Re^, 

 et 



f (x) dsignant une fonction de x qui reste finie et continue , depuis la li- 

 mite r = r jusqu' la limite r = R. Alors , en observant que le module r de 



