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comment on pouvait dterminer les limites de l'erreur que l'on commet 

 quand on arrte, aprs un certain nombre de termes, le dveloppement d'une 

 fonction en une srie ordonne suivant les puissances entires et ascendantes 

 d'une variable. Le nouveau calcul que j'ai appliqu la solution de ce pro- 

 blme, et que j'ai nomm calcul des limites, prouve que l'erreur commise 

 reste infrieure , quand la srie est convergente, au reste d'une certaine pro- 

 gression gomtrique. Or, un thorme que j'ai donn dans la 9 e livraison des 

 Exercices d Analyse et de Physique mathmatique, et qui se rapporte aux 

 valeurs moyennes des fonctions, permet d'tendre cette proposition au cas o 

 il s'agit du dveloppement d'une fonction en une srie ordonne suivant les 

 puissances entires d'une exponentielle trigonomtrique. En effet, si l'on 

 considre cette exponentielle comme la valeur particulire d'une variable .r, 

 correspondante au module 1, le coefficient de la n tme puissance de l'expo- 

 nentielle, dans le dveloppement de la fonction, ne sera autre chose que 

 la valeur moyenne du rapport entre la fonction et la n iime puissance de x. 

 Or, d'aprs le thorme en question ,,>on pourra dans cette valeur moyenne 

 remplacer le module 1 par un autre module r, infrieur ou suprieur 

 l'unit, si la fonction ne cesse pas d'tre continue, tandis que le module de 

 x varie entre les limites 1 et r. D'ailleurs, cette condition tant suppose 

 remplie, il est clair que si l'on arrte, aprs un certain nombre de termes, 

 la partie du dveloppement de la fonction qui renferme ou les puissances 

 descendantes, ou les puissances ascendantes de l'exponentielle trigonomtrique, 

 l'erreur commise sera infrieure au reste correspondant de la progression 

 gomtrique qui aurait pour premier terme la valeur moyenne de la fonction , 

 correspondante au module r, et pour raison ce module mme, ou l'inverse 



de ce module, c'est--dire le rapport -. 



Ce n'est pas tout. Si au premier terme du dveloppement, c'est--dire 

 au terme indpendant de la variable et reprsent par la valeur moyenne de 

 la fonction donne, on substitue la moyenne arithmtique entre les n valeurs 

 qu'acquiert la fonction quand on gale successivement la variable aux diverses 

 racines n' emes de l'unit; l'erreur commise se composera de deux parties, dont 



chacune sera le produit de la puissance n' me du module r ou - par la 



somme d'une progression gomtrique qui offrira pour raison cette mme 

 puissance. On pourra donc calculer trs-simplement ce premier terme, et 

 mme, par un calcul analogue, un terme quelconque de la srie, avec une 

 approximation dfinie, et aussi grande que l'on voudra. 



