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est une srie convergente. D'ailleurs cette dernire condition sera toujours 

 videmment satisfaite , si l'on a m > o. Donc alors on pourra supposer la 

 valeur gnrale de H dtermine par la formule (n), et la formule (3) 

 donnera 



ntn i) n(n-i) 



! m m 



_ _ on* ^ ~nwi _ on 2 y.nm 



( ,3) * =/(,) - e.2" i+a ,.; -e g S- 1 + ^ -etc., 



les sommes indiques par le signe V s'tendant toutes les valeurs entires, 

 positives, nulle et ngatives de .En d'autres termes, on aura, pour ra>o, 



m 



(, 4 ) /(*) = f (*) - L^ j^y^ ^y^i 



F (a:) dsignant une fonction qui sera dveloppable en une srie conver- 

 gente ordonne suivant les puissances entires, positives, nulle et ngatives 

 de .r. D'ailleurs , on tirera des formules (9) et (i/j) 



(i5) F(x) = 0x m F(tJc), 



et l'on pourra de la formule (1 5) dduire immdiatement la valeur de F (x), 

 en oprant comme nous l'avons dj fait dans un cas semblable (voir le 

 Compte rendu de la sance du 9 octobre , page 699). On trouvera ainsi 



(16) F(-r)=K o n(.r m , t)+K t l(etx' n , t) 4-...+K 1 _^'"-< U{Qt m ~ , x m i t), 

 la valeur gnrale de K,- tant donne par la formule 



F (x) -+- r- 1 F (rx) + r~* F (r' j?) + . . -t- /-f"-' >'' F (r " x) 



(17) K, - m x i n{6t i x m ,t'") ' 



dans laquelle x dsigne une valeur particulire de x, et r l'une des racines 

 primitives de l'unit du degr m. Quant aux valeurs particulires de F (x) 

 reprsentes par 



F(x), F(rx),..., F(r'"-x), 



on pourra aisment les dduire de la formule (i3) jointe la formule (2). 



Nous avons, dans ce qui prcde, suppos la valeur de m positive. Si 

 Ton supposait au contraire m ngatif , alors, pour satisfaire aux conditions 

 prescrites , on serait oblig de multiplier le second membre de la formule (1 1) 



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