( ll 9 l ) 



analyse mathmatique. Mmoire sur l'intgration des quations diff- 

 rentielles linaires au moyen des intgrales dfinies ; par M. Wantzel. 

 (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Sturm, Liouville, Lam.) 



I. 



Le but de ce Mmoire est d'exposer une mthode fconde qui permet 

 d'intgrer l'aide d'intgrales dfinies un grand nombre d quations linaires. 

 La varit des formes qu'affecte le rsultat dans les exemples simples, comme 

 ceux qui ont t dj considrs, conduit des transformations d'intgrales 

 dfinies qu'il serait souvent difficile d'apercevoir autrement. 



Le principe de cette mthode se trouve dans le chapitre II de la 

 Thorie analytique des probabilits. Laplace s'occupe spcialement des 

 quations aux diffrences finies, et il ne fait aucune application aux qua- 

 tions diffrentielles. Son procd est incomplet et restreint aux quations 

 dont les coefficients sont des fonctions entires. Du reste , il ne parat pas 

 que cette mthode remarquable ait beaucoup attir l'attention des gom- 

 tres ; car les quations intgres l'aide des intgrales dfinies , soit dans le 

 Trait de la chaleur de Poisson, soit dans le Cours de M. Duhamel, soit 

 dans un travail rcent de M. Serret (i), l'ont t d'une manire diffrente 

 et beaucoup moins directe. Je dois dire cependant que M. Liouville en 

 a fait usage pour intgrer une quation aux diffrentielles fractionnaires 

 dans un de ses premiers Mmoires sur ce sujet (2). 



Les principales quations que je parviens intgrer par la mthode de 

 Laplace gnralise sont les quations linaires du second ordre et du se- 

 cond degr ( l'exception de quelques cas), et les quations deux termes 

 de la forme 



% = V*** ou 7P = <***? 



Dans ces exemples on trouve l'intgrale gnrale; quelquefois le procd ne 

 donne que des intgrales particulires. 



H. 



Pour faire connatre l'esprit de la mthode et son utilit pratique , je 



(1) Comptes rendus, t. XVII, p. 456. 



(a) Journal de l'cole Polytechnique , xxi c cahier. 



