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 prendrai l'quation 



(A) (i - *) ^r - ^ % + n (n + i)j = o, 



traite par M. Serret dans les Comptes rendus (), l'aide des diffrentielles 

 fractionnaires, par le procd de M. Liouville. Cherchons exprimer^ - par 



l'intgrale / uyc/a, dans laquelle f dsigne une fonction inconnue de a, 



et u une fonction de a et de a:, qui, dans le cas actuel, sera ; La 



' * ' ' (a 4-*)" 



substitution daus l'quation (A) donne 



b r (i ) (m+i)m ncun* n {n+i) m(m i) "| , _ 



Ja l ( + *)"-' " T (a -+- )-+ "^ ( + *)- J?-0, 



et la quantit sous le signe d'intgration pourra s'exprimer au moyen de la 

 fonction v = j r et de sa drive par rapport a, si l'on dtermine m 



par la condition 



n{n -+- i) m(m i) = o. 



L'quation prend alors la forme 



/ (o 2 i)m.-- -f- "xoLmv I tpda = o, 

 ou bien, en intgrant par parties, 



(a* i)/n<pe / p f f ^ 2am a f \da=o. 



On satisfera donc l'quation (A) par une valeur de <p tire de 



S 2 - aa m 3 = o, 



si la portion intgre (a a i)m<pi> est nulle aux limites. On trouve ainsi 



y = C (a a - i), 



() Comptes rendus, t. XVII, p. 47^. 



