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 on trouve que 



d a u d n ' v 



= ii _ l (selon que n est pair ou impair), 



H 

 comme on peut s'en assurer en dveloppant par rapport x. Il en rsulte 



d'ailleurs y et ses drives sont gnralement nulles pour a = o et a = oo : 

 par consquent, si le facteur m rend intgrable le second membre de la re- 



uyda. 



Or, le facteur f doit tre, dans tous les cas, une intgrale de l'quation 



d*-< <? a*+ l 



<p = o. 



da"~' m-\-n 



Donc , l'intgration de l'quation donne est ramene celle d'une autre 

 quation de mme forme dont tordre est infrieur dune unit. On arrivera 

 ainsi au premier ordre, et l'intgrale s'obtiendra par des intgrales dfinies 

 successives dont le nombre sera au plus n i. Si l'on an i intgrales par- 

 ticulires de l'quation en <p, on en trouvera autant pour l'quation propo- 

 se, ce qui conduira l'intgrale gnrale. Applique l'quation de Riccati, 

 cette mthode donne immdiatement 



J = f e *** W -U, 



ou encore, 



4-i 

 x f_ V, + J_\ _ m -h 4 



j = yj x r e m - f - 2 ^ a ^a m +*da. 



Cette intgrale s'obtient, en effet, en termes finis quand - est un 



nombre pair, ou quand m est de la forme ,__ Il rsulte des recherches 



de M. Liouville, qu'on ne pourra pas mme l'exprimer par une intgrale in- 

 dfinie dans tout autre cas. 



