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 dans le tableau ^ 



D], D x D y u, D x D z u,..., 

 D x D r , D>, ELB,>..., 

 D X D,, D r D,, D,*,..., 



i 



en sorte qu'on ait, par exemple, quand les variables x, y, z,.. . se rdui- 

 sent deux , 



v = D;D> - (D x T> r u) 2 . 

 . 

 analyse mathmatique. Mmoire sur les modules des sries,- 

 par M. Augustin Cacchy. 



Dans mon Analyse algbrique publie en i8ai, je ne me suis pas con- 

 tent d'observer que les sries convergentes sont les seules qui puissent tre 

 sommes, j'ai de plus tabli des thormes gnraux relatifs la conver- 

 gence des sries qui se prolongent indfiniment dans un seul sens. L'nonc 

 de ces thormes, et de quelques autres relatifs aux sries qui se prolongent 

 indfiniment dans deux sens opposs, deviendra beaucoup plus simple, si 

 l'on a recours la considration de certaines quantits que j'appellerai les 

 modules des sries. Entrons ce sujet dans quelques dtails. 



Considrons d'abord une srie qui se prolonge indfiniment dans un 

 seul sens, et dsignons par une mme lettre u successivement affecte des 

 indices 



o, i, 2, 3,.. re,..., 



>,'< .' 



les divers termes de cette srie. Le terme gnral, reprsent par u n , aura 



pour module une certaine quantit positive p, et la racine n lme de cette 

 quantit convergera, pour des valeurs croissantes du nombre n, vers une 

 ou plusieurs limites. Or la plus grande de ces limites sera ce que j'appellerai 

 le module de la srie. Cela pos, on dduira des principes tablis dans l'ana- 

 lyse algbrique la proposition suivante : 



I er Thorme. Une srie, qui se prolonge indfiniment dans un seul 

 sens, est convergente quand son module reste infrieur l'unit, et diver- 

 gente quand ce module devient suprieur l'unit. 



Considrons maintenant une srie qui se prolonge indfiniment dans 

 les deux sens , et dsignons ses divers termes par une mme lettre succes- 

 sivement affecte, d'une part, des indices nul ou positifs 

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<-, i, -i, ., . . . , n } . . . , 

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