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d'autre part , des indices ngatifs 



i, 2, 3,..., , 



Les deux termes gnraux ,_ offriront ordinairement deux modules 

 diffrents p, (5_; et les deux quantits positives vers lesquelles converge- 

 ront, pour des valeurs croissantes de n, les plus grandes valeurs des ra- 

 cines n lm " de ces modules, sont ce que nous appellerons les deux mo- 

 dules de la srie en question. Cela pos, comme cette srie pourrait tre 

 cense rsulter de la runion de deux autres dont chacune se prolongerait 

 indfiniment dans un seul sens, il est clair que le thorme ci-dessus nonc 

 entranera encore le suivant. 



i e Thorme. Une srie qui se prolonge indfiniment dans les deux 

 sens est convergente quand ses deux modules sont infrieurs l'unit y et 

 divergente quand un de ces modules devient suprieur l'unit. 



Considrons maintenant deux sries dont les termes soient reprsents 

 par deux lettres distinctes u, v, chacune de ces lettres tant succes- 

 sivement affecte de tous les indices entiers positifs , nul et ngatifs. 

 Les produits que l'on formera en multipliant les divers termes de la 

 premire srie parles divers termes de la seconde, pourront tre groups 

 entre eux de manire que chaque groupe renferme tous les produits dans 

 lesquels les indices des deux lettres u, v, offrent une somme donne n 

 ou n. De plus on pourra imaginer une nouvelle srie dont le terme g- 

 nral sera la somme des produits correspondants un. mme groupe. Cela 

 pos, aux propositions dj nonces se joindront de nouveaux thormes 

 relatifs la nouvelle srie. On reconnatra, par exemple, que les modules 

 de la nouvelle srie ne peuvent surpasser les modules des sries donnes, et 

 qu'en consquence la nouvelle srie sera convergente si chacune des sries 

 donnes a pour modules des nombres infrieurs l'unit. 



Dans le cas o l'on considre une srie ordonne suivant les puissances 

 entires et ascendantes d'une certaine variable x, le premier des thormes 

 prcdemment noncs fournit une limite suprieure que le module de la 

 variable x ne peut dpasser, sans que la srie cesse d'tre convergente. Mais 

 d'aprs un autre thorme, que j'ai dmontr dans les Exercices d'Analyse, 

 si la srie reprsente le dveloppement d'une fonction donne , cette srie 

 restera convergente, tant que le module de la variable sera infrieur au plus 

 petit de ceux pour lesquels la fonction et sa drive restent continues. Ou 

 doit donc prsumer que, dans un grand nombre de cas, ce plus petit mo- 



