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car N se rduit /', N' /", mais Ol< et Cil' conservent leurs termes en y 9 et 

 z*. Les quations (i i) donnent, par l'intgration, 



(12) / = aij>, m /fy, n = 7^, 



a /3> 7 tant constants, <|/ fonction de X; d'o l'on conclut 



(i3) J 3iv= <4 -t- <f 2 F, 3U/= 4-' -4- 2^'F, 



( F = j3(/3 - a)jr a -+- 7(7 - a)z\ 



Toutes ces valeurs, substitues dans l'quation (7), la transforment ainsi : 





('4) [J + P(/3 - ) J* + 7(7 - )*] -j = - 



+ P + 7 



2<p 



Pour que les termes en y % et z 2 disparaissent,. il faut, ou que a = jS = 7, 

 ce qui reproduirait le systme des sphres concentriques, ou que 



(i5) -jf = o, y = -(+|3> 



Rien n'empche, dans le dernier cas, de prendre^ = -, et la premire 

 quation (i5) conduit une valeur constante pourip; l'quation (1) devient 



(16) ax* -+- /3jr 2 (a + /3)z 2 = X; 



elle reprsente alors plusieurs familles d'hyperbolodes isothermes , sur les- 



, oudeX; 

 ce qui est d'ailleurs vident, puisque la fonction X (16) satisfait l'quation 



dx* dy'* dz 2 ~ 



3. Enfin, on peut vrifier l'quation (7) sans poser les relations (8) ou (1 1); 

 c'est--dire sans que les termes en y 2 et z 2 disparaissent directement dans 

 2f\l>, ait', N, M'. En effet, comme cette vrification doit avoir lieu quels que 

 soient y et z, on peut supposer ces coordonnes constantes tandis que X va- 



C. R., 1843, a me Semestre. (T. XVII, N 22.) l6l 



