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que les surfaces orthogonales se coupent suivant leurs lignes de courbure. 

 Les deux autres thormes sont relatifs aux lois qui rgissent les six cour- 

 bures des trois surfaces conjugues ; l'aide de quelques dfinitions faciles 

 saisir (1), ils expriment, dune part , que la variation d'une courbure, sui- 

 vant l'axe courbe normal son plan, est gale au produit de sa conjugue 

 en axe, par son excs sur sa conjugue en surface; et d'autre part, que le 

 produit des deux courbures d'une mme surface, augment de la somme des 

 carrs de leurs conjugues en axe, est gal la somme des variations de 

 ces deux dernires courbures, suivant leurs arcs rciproques. 



L'objet principal du Mmoire de M. Bertrand est la dmonstration di- 

 recte des deux thormes que nous venons d'noncer, et qu'on avait dduits 

 de formules analytiques assez compliques. En partant du thorme de 

 M. Dupin, et par des considrations qui tiennent la thorie des infiniment 

 petits, dont l'emploi tait invitable puisqu'il s'agissait de variations, 

 M. Bertrand est parvenu dmontrer gomtriquement les lois qui rgissent 

 les courbures dans tout systme de surfaces orthogonales. 



Ce travail tait ncessaire, et mme indispensable, pour complter la 

 thorie des surfaces conjugues; car, si l'analyse mathmatique dcouvre drs 

 proprits nouvelles dans la science de l'tendue, il importe que la gomtrie 

 pure s'assimile ces proprits, et qu'elle les vrifie par des mthodes qui lui 

 soient propres. C'est en se perfectionnant par des preuves semblables, que 

 les mthodes gomtriques pourront acqurir toute la gnralit et toute la 

 sret ncessaires, pour aborder les questions difficiles que l'analyse math- 

 matique a seule explores jusqu'ici. 



>> La mthode employe par M. Bertrand le conduit, en outre, une 

 proprit nouvelle des surfaces orthogonales qui sont en mme temps iso- 

 thermes; il fait voir que, dans ce systme particulier, si l'on divise respect i- 

 ment les deux rayons de courbure d'un mme axe par leurs conjugus en 

 surface, la somme algbrique des deux rapports est gale l'unit. 



n Ce thorme conduit deux relations distinctes et trs-simples, entre 



(1) On adopte ici les dfinitions suivantes: Le plan d'un arc de cercle, de rayon r, est 



le plan de la courbure qui a pour valeur la fraction . Les deux courbures dont les plans 



passent par la mme tangente l'intersection de deux surfaces orthogonales sont dites conju- 

 gues en axe. Les deux courbures d'une surface en un mme point sont dites conjuguent 

 en surface. Enfin , on appelle variation d'une quantit suivant une certaine ligne , la limite 

 du rapport de l'accroissement de cette quantit l'arc parcouru sur la ligne. 



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