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Si en un point quelconque , A , pris sur une surface , on mne une 

 normale AZ, puis que, par le point A, on fasse passer sur la surface 

 deux lignes perpendiculaires sur lesquelles on prenne des longueurs infi- 

 niment petites gales, AB, AC; la normale au point B fera, avec le plan 

 ZAB , un angle gal celui que la normale au point C forme avec le plan 

 ZAG. Cette proprit suffit pour caractriser les normales une mme sur- 

 face, et combine avec la loi de continuit, elle renferme implicitement toutes 

 les autres proprits gnrales que l'on pourrait trouver. 



Comme application, je me bornerai montrer ici l'usage que l'on en 

 peut faire pour dmontrer trs -simplement le beau thorme de M. Dupin 

 sur les intersections des surfaces orthogonales. 



Considrons trois sries de surfaces orthogonales , et soient en nn point 

 A , AX , AY, AZ les tangentes aux courbes d'intersection des trois surfaces 

 qui y passent. Soient trois points, M, N, P, pris respectivement des dis- 

 tances infiniment petites gales du point A et dans ces trois directions AX , 

 AY, AZ; en considrant, au point M, les normales aux surfaces qui se 

 coupent suivant AX , et nommant a , fi , y, a', 6', y' les angles qu'elles forment 

 avec les axes , on aura 



cos a cos a' -+- cos fi cos |3' + cos y cos y' = o ;. 



mais a, a' diffrant infiniment peu d'un droit, et p, y' diffrant infiniment 

 peu de zro, cette quation devient, en ngligeant les infiniment petits du 

 second ordre, 



(i) cos fi' + cos y = o. 



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On aurait de mme, en nommant a,, fi, , y,, a a , 2 , y 2 les angles que 

 forment avec les axes les normales aux surfaces qui se coupent en N, 



(2) cos y, + cos a\ = o ; 



et enfin, en nommant a 2 , S a , y 2 , a' 2 , |3' 2) y' 2 les angles que forment avec 

 les axes les normales menes au point P aux deux surfaces qui passent par 

 ce point, on aura 



(3) cos a 2 H- cos fi ' 2 = o ; 

 mais, d'aprs notre thorme nonc plus haut, 



(4) cos/3' = cos a\ , cosy=cosa 2 , cos y 2 = cos fi ' 2 ; 



