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unique. Pour quatre verticales, nous avons deux systemes, I'un 

 alterneavec la divergence ^ l'autre verticillaire avcc la decussa- 

 tion ou le bijugue du distique. 

 Pour 5 verticales , deux systemes sont possibles avec les angles 



Dans le cas de 6 verticales, trois systemes se rencontreront, Tun 

 alterne avec la divergence |, deux verticillaires, le bijugue du 

 tristique et le trijugue du distique. 



Pour 7 rangees verticales, trois systemes alternes peuvent se 

 rencontrer avec les angles I, |, , et ainsi de suite a l'infini. 



C. Troisieme methode. Par les methodes precedentes, on 

 arrive seulement a la connaissance des systemes rectiseries ou 

 a divergences commensurables avec la circonference. Pour les 

 completer , il faudrait aj outer la serie infinie des systemes a diver- 

 gences irrationnelles. La troisieme methode nous fournira les 

 moyens de remplir cette lacune. 



Nous sommes arrives kla connaissance d'un premier angle irra- 

 tionnel, celui de i37 3o' 28", en comparant entr'elles , sur la 

 meme plante ou sur des plantes differentes, les spirales apparentes 

 des feuilles qui forment toujours une serie recurrente dont les 

 nombres sont 1, 2, 3, 5, 8, i3, etc. Nous avons vu qu'en supposant 

 placees sur la verticale les feuilles 2,3, 5, 8, i3... nous avions 

 pour divergences de leur spire generatrice la serie des fractions 

 !> i l> f A> < I U * sont les reduites successives de la fraction 

 continue periodique |+f + i + i *H 4 1 etc - > etc - -^ a ^ s 

 comme, toutes les fois que le nombre des feuilles augmente, la 

 fraction qui mesure la divergence approche du dernier terme de 

 cette serie, nous avons ete obliges de reconnaitre dans beaucoup 

 de plantes, pour la divergence des feuilles, ce meme dernier terme 



dont la formule est f s ~ v s V 

 \ 2 / 

 La serie fractionnaire i i. i, 1... va done nous ouvrir une 



2' 3 ' 5 ' 8* 



nouvelle maniere pour classer les divergences de systemes recti- 

 series possibles, tandis que son dernier terme nous donnera une 

 cspece de divergence irrationnelle , la plus frequente de toutes , 

 sans contredit. 



Si nous conjuguons a Tinfini chacun des termes de cette serie, 



