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unit est le tiers. D'aprs cette considration , c'est donc /e diviseur des units , c'esl--dii e 

 4 , qui avec sa diffrence dtermine la partie un tiers. 



Voil l'explication, je pense, de la phrase obscure et tout fait amphibologique de 

 Gerbert. Du reste , sa rgle se rapporte videmment la division par les diffrences ; et il 

 indique lui-mme la marche de l'opration, en ajoutant sous forme d'explication : Id est, 

 differentia divisons ad decenum multiplicabitur per denominationem secundarum, etc.; 

 c'est--dire, on multipliera la diffrence dix du diviseur des units parla dnomination de 

 la partie prise. C'est l prcisment la rgle de la division compose, par les diffrences. 



Ensuite Gerbert dit comment on divisera des centaines et des raille par les mmes divi- 

 seurs , c'est--dire par des dizaines jointes des units. Le texte est encore assez difficile 

 comprendre. Du reste , il semble faire double emploi avec le chapitre suivant. Aussi ne le 

 trouve-t-on pas dans quelques manuscrits (mss. n" 4' ^^ Chartres et n Sgi de Rouen). La 

 mthode indique par l'auteur consiste diviser lo units de l'ordre infrieur au dividende 

 propos et multiplier le quotient par la dnomination du dividende. Comme la division se 

 fait par la mthode des diffrences , on aura multiplier la diffrence du diviseur des units 

 par ce quotient. Les articles du produit seront placs dans la colonne de l'ordre infrieur au 

 dividende , puisque c'est i o units de cet ordre qu'on a divises. C'est ce que Gerbert exprime 

 en ces termes : Et articuli quidera ab uno centeno vel milleno secundabuntur. Ce produit 

 forme le reste de la division des lO units de l'ordre infrieur; il faudra le multiplier par la d- 

 nomination du dividende pour avoir le vritable reste de la division du dividende propos. 

 Les articles du produit seront placs dans la colonne mme du dividende. C'est ce que l'au- 

 teur exprime par ces mots : A pluribus dividendorvim obtinebunt (articuli ) sedes. 



Tout cela est, comme on le voit, fort obscur et nigmatique. Il faut croire que quand 

 Gerbert a crit ce Trait on tait dj familiaris avec ces procds de calcul , qui , du reste , 

 sont ceux dciits par Boee , encore plus laconiquement il est vrai. 



Chapitre V. Autre division des centaines ou des mille, et au del, par les mmes diviseurs. 



Pour diviser des centaines ou des mille, ou au del, par des dizaines 

 jointes des units, on divisera une centaine comme ci-dessus, en prenant 

 la diffrence du diviseur dix; et on multipliera le reste par la dnomina- 

 tion du dividende propos. -" 



Et si aux centaines sont jointes des units pour former un nombre com- 

 pos, ou bien des dizaines et des units, dans le premier cas , on divisera , et 

 dans le second, on les ajoutera , comme il a t dit ci-dessus dans la division 

 par des dizaines jointes des units. 



" Les premiers articles sont placs dans la premire colonne droite du 

 dividende ; les autres articles sont placs dans la colonne du dividende. 



Commentaire. Compltons d'abord les dernires phrases de l'auteur, qui, dans leur 

 laconisme actuel , ne peuvent prsenter de sens. Nous dirons : Si aux centaines sont join- 

 >' tes des units pour former un nombre compos , ou bien des dizaines et des units , dans 



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