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l'Acadmie, m'a fourni, comme l'on sait, les moyens, non-seulement d'ex- 

 pliquer le singulier paradoxe que semblaient prsenter des intgrales doubles 

 dont la valeur variait avec l'ordre des intgrations , et de mesurer l'tendue de 

 cette variation, mais encore de construire des formules gnrales relatives 

 la transformation ou mme la dtermination des intgrales dfinies, et de 

 distinguer les intgrales dont la valeur est finie d'avec celles dont les valeurs 

 deviennent infinies ou indtermines. Ces diverses applications de la thorie 

 des intgrales singulires se trouvent dj exposes et dveloppes d'une part 

 dans le tome I*' des Mmoires des Savants trangers, de l'autre dans mes 

 Exercices de Mathmatiques , et dans les leons donnes l'Ecole Polytech- 

 nique sur le calcul infinitsimal. 



Il arrive souvent que , dans une intgrale simple , la fonction sous le signe 

 f se compose de divers termes dont plusieurs deviennent infinis pour une 

 valeur de la variable comprise entreles limites des intgrations , ou reprsente 

 par l'une de ces limites. Alors il importe de savoir non-seulement si l'intgrale 

 est finie, ou infinie, ou indtermine, mais en outre, lorsqu'elle reste finie , 

 quelle est prcisment sa valeur. La thorie des intgrales singulires, qui sert 

 rsoudre gnralement le premier problme, conduit souvent encore la 

 solution exacte ou approche du second. Ainsi en particulier cette thorie , 

 combine avec le calcul des rsidus, fournit, sous une forme trs-simple, la 

 valeur gnrale d'une intgrale prise entre les limites o et co , lorsque la fonc- 

 tion sous le signe f est une somme d'exponentielles multiplies chacune par 

 un polynme dont les divers termes sont proportionnels des puissances 

 entires positives ou mme ngatives de la variable x. 



)) La thorie des intgrales singulires peut encore tre employe avec 

 avantage dans l'valuation des intgr-ales qui reprsentent des fonctions de 

 trs-grands nombres. Elle permet de sparer, dans ces dernires , la partie qui 

 reste finie ou qui devient mme infinie avec ces nombres, de celle qui dcrot 

 indfiniment avec eux. Cette sparation devient surtout facile quand, les li- 

 mites de l'intgrale tant zro et l'infini, la fonction sous le signe /"se compose 

 de deux termes, dont l'un est indpendant d'un trs -grand nombre donn, 

 tandis que l'autre a pour facteur une exponentielle dont l'exposant est propor- 

 tionnel ce mme nombre. 



L'observation que nous venons de faire s'applique particulirement 

 deux intgrales dignes de remarque. La premire est celle qui reprsente la 

 somme des puissances ngatives semblables des divers termes d'une progres- 

 sion arithmtique dans laquelle le nombre des termes devient trs-considrable. 

 La seconde est le logarithme d'une des intgrales eulriennes , savoir, de celle 



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