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que M. Legendre a dsigne par la lettre F. En appliquant les principes ci- 

 dessus noncs la premire, on la dcompose en deux parties, dont l'une, 

 qui dcrot indfiniment avec le nombre des termes de la progression arith- 

 mtique, peut tre dveloppe en srie convergente , tandis que l'autre partie 

 peut tre prsente sous forme finie , et dbarrasse du signe d'intgration , 

 pourvu que l'on introduise dans le calcul une certaine constante analogue 

 celle dont Euler s'est servi pour la sommation approximative de la srie 

 harmonique. 



" Quant l'intgrale dfinie qui reprsente le logarithme de la fonc- 

 tion r (ra), elle se dcompose immdiatement, d'aprs les principes ci-dessus 

 noncs, en deux parties, dont l'une crot indfiniment avec le nombre n, 

 et peut tre compltement dbarrasse du signe d'intgration , tandis que 

 l'autre peut tre dveloppe de plusieurs manires en srie convergente. 

 Cette dcomposition est prcisment celle laquelle M. Binet est parvenn 

 par d'autres considrations dans son Mmoire sur les intgrales euliiennes, 

 et constitue, mon avis, l'un des beaux rsultats obtenus par l'auteur dans 

 cet important Mmoire. A la vrit M. Gauss avait, en 1812 , exprim par 

 une intgrale dfinie la diffrentielle du logarithme de V [n), et l'on pouvait ai- 

 sment, par l'intgration, remonter de cette diffrentielle au logarithme lui- 

 mme. A la vrit encore, en retranchant de ce logarithme la partie qui 

 crot indfiniment, telle qu'on la dduit de la formule donne par Laplace 

 pour la dtermination approximative de T (n) , on devait tenir pour certain 

 que la diffrence dcrotrait indfiniment avec le nombre n. Mais, en suppo- 

 sant mme que ces rapprochements se fussent prsents l'esprit des go- 

 mtres, ils n'auraient pas encore fourni le moyen de dvelopper en srie con- 

 vergente, et d'valuer par suite avec une exactitude aussi grande qu'on le 

 voudrait, la diffrence entre deux termes trs-considrables, dont un seul 

 tait reprsent par une intgrale dfinie. Avant que l'on pt obtenir un tel 

 dveloppement, il tait d'abord ncessaire de reprsenter la diffrence dont 

 il s'agit par une seule intgrale qui se prtt facilement l'intgration par 

 srie. C'est en cela que consistait, ce me semble, la principale difficult qui 

 s'opposait ce que l'on pt valuer^avec une exactitude indfinie, et aussi con- 

 sidrable qu'on le voudrait, les fonctions de trs-grands nombres, et en par- 

 ticulier la fonction Y (). Cette difficult , que n'avaient pas fait disparatre 

 les Mmoires de I^aplace, de Gauss, de Legendre et de Poisson, est, comme 

 nous l'avons dit, rsolue dans le Mmoire de M. Binet. Les amis de la science 

 ne verront peut-tre pas sans intrt que l'analyse trs-dlicate et trs-ing- 

 nieuse dont ce gomtre a fait usage, peut tre remplace par quelques for- 



