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ou Ion aurait nu,,- , ,.. ',, 



L'quation (i8) fournit, comme l'on sait, les moyens de dvelopper une fonc- 

 tion donne de x en une srie dont les divers termes sont proportionnels aux 

 cosinus des multiples d'un mme arc. On pourra se servir de la mme manire 

 des formules (17) et (12) pour dvelopper une fonction donne de x ou de 

 ar, ^, z,. .. en une srie de termes respectivement proportionnels diverses 

 valeurs de u qui, tant propres vrifier l'quation (i5) ou (9), correspon- 

 draient diverses valeurs de a reprsentes par les diverses racines d'une 

 mme quation transcendante. 



II. Sur quelques proprits remarquables des quations homognes et de leurs intgrales. 



Supposons que , F (, j-,z,. . .) dsignant une fonction entire et ho- 

 mogne des variables x, j^, z,. . . , on pose , pour abrger, 



)>f)')I I;; 



V =F(D,,D^,D...); 



l'quation linaire aux drives partielles 



^j^ iqii 1 w^ 5ii;)mM irb i : y ^ ^ ^ ; , 



sera ce que nous appelons une quation homogne. Supposons encore que , 

 dans l'intgrale zs de cette quation , l'on remplace les variables indpen- 

 dantes X, j, z,. . . par d'autres p, q,r,. . , lies aux premires de telle sorte 

 que, si ; vient varier, a:, ^',2..., considrs comme fonctions de /?, ^, r, . . ., 

 varient proportionnellement r. Les quationsqui subsisteront entre x,jr, z,..., 

 p,q,r,... seront de la forme 



(a) X = ar, j = r, z = yr,..., 



a , , 7, . . . dsignant des fonctions qui renfermeront les nouvelles varia- 

 bles p, q,. . . distinctes de r; et, lorsqu'on aura effectu le changement de 

 variables indpendantes, V deviendra une fonction de/?,*/, r,..., D^, D^, D^,... 

 qui sera entire par rapport D^, D^, D .... D'autre part , si k dsigne une 

 quantit constante, on pourra, dans les quations (2), remplacer simulta- 

 nment 

 '' ' ^1 y-i Zv par kx., kj, kz,..., 



