( 476 ) 

 la valeur de n tant 



n = V+nV,_, +n{n i)V,_a-H ... + /z(n i) ...(. m + i)Vo. 

 Donc, dans l'hypothse admise, lequation (i) pourra tre rduite 



(5) UnU = o; 



et, pour la vrifier, il suffira de substituer dans la formule (4) une valeur 

 de u qui reprsente une intfjrale de l'quation (5). Or cette quation (5), 

 ne renfermant plus que les nouvelles variables p, q,.. . distinctes de r, avec 

 les lettres caractristiques correspondantes Dp, D^,..., pourra tre vrifie 

 par des valeurs convenables de u. On peut donc noncer la proposition 

 suivante. 



>' I** Thorme. tant donne une quation aux drives partielles _, linaire, 

 coefficients constants et homogne , entre une inconnue u , et diverses va- 

 riables indpendantes x, j, z,..., on pourra satisfaire cette quation en 

 prenant pour intgrale une fonction homogne de x, j-, z,... et mme une 

 fonction homogne d'un degr quelconque n. De plus, la recherche d'une 

 telle intgrale pourra tre rduite l'intgration d'une quation linaire, 

 mais coefficients variables , qui renfermera une variable indpendante de 

 moins, et changera de forme avec le nombre . 



Ce n'est pas tout: puisque l'on vrifiera l'quation (i) en prenant 

 pour sr le produit 



1 l -Ktil 



on la vrifiera encore en prenant pour z? une somme de semblables produits , 

 c'est--dire, en posant 



(6) tr = 2r", 



u reprsentant toujours une intgrale de l'quation (5), et la somme indi- 

 que par le signe 2 s'tendant ou un norabi'e fini, ou mme un nombre 

 infini de valeurs rationnelles ou irrationnelles, entires ou fractionnaires, 

 positives ou ngatives, de l'exposant n de r". Enfin la valeur de nr, d- 

 termine par la formule (6), continuera videmment de vrifier l'qua- 

 tion (i), si l'on multiplie sous le signe 1 chaque terme ur" par un coef- 

 ficient constant a. On obtiendra ainsi pour l'intgrale de l'quation (i) 



