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 une expression de la forme 



(7) ^ laiir". i ,, ^ 



La valeur du coefficient a dans chaque terme pourra d'ailleurs tre choisie 

 arbitrairement , lorsque le nombre des termes restera fini. Ijorsque ce nombre 

 deviendra infini, la seule condition laquelle a devra satisfaire sera que le 

 systme de tous les termes offre une srie convergente. 



Au lieu de faire servir l'intgration de la formule (5) celle de l'qua- 

 tion (i), on pourrait rciproquement faire servir l'intgration de cette qua- 

 tion l'intgration del foi'mule (5). En 'effet, supposons d'abord que 

 l'on connaisse une intgrale homogne ts de l'quation (i). On pourra tou- 

 jours, par le changement de variables indpendantes opr l'aide des for- 

 mules (2) , rduire cette intgrale homogne la forme iin r" ; et alors, comme 

 on l'a dit, u sera une intgrale de l'quation (5). Mais il y a plus: tant don- 

 ne une intgrale quelconque ot de l'quation (i), aprs avoir exprim cette 

 intgrale en fonction des nouvelles variables p, 9, r,. .., on pourra, dans un 

 grand nombre de cas , la dvelopper en une srie convergente ordonne sui- 

 vant les puissances ascendantes ou suivant les puissances descendantes de / , 

 et poser en consquence 



ZS = lUn r", 



u tant une fonction des nouvelles variables p, q, ... distinctes de /. Or, eu 

 substituant la valeur prcdente de ns dans la formule (i), on en conclura 



(8) - lV(ur'')^o; 

 et comme on aura identiquement 



V(r) = r-'"n, 

 la formule (8) donnera 



(9) 2r-'"a =^ o. 



Cette dernire formule, devant tre vrifie quel que soit r, entranera n- 

 cessairement l'quation (5) ou 



DnU = O. 



On peut remarquer d'ailleurs que dvelopper l'intgrale zs, iconsidre comme 



C. a., 1845, l't Semestre. (T. XVI, K 9.) 63 



