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Cela pos, pour rsoudre le problttie ci-dessus nonc, il suffira vi- 

 demment d'attribuer aux fonctions ip (x) et /(.r) des formes telles que la va- 

 leur de w dtermine par l'quation (7) se rduise pour r = i , une fonction 

 dtermine de l'angle p. Nommons <}'(/') cette dernire fonction. 9 (x) 

 et x(^) devront tre choisies de manire que l'on ait, pour r= i, 



(10) ?() + xW = "f(/')- 



Dans le cas particulier o la base de la surface cylindrique se rduit au 

 cercle reprsent par l'quation 



a 



(il) x' + J 



les formules (5), (6) donnent 



!a = cosp, S = sinp, 



Alors p, rse trouvent lies k x, jr par les formides 



(i3) x = rcosy?, j^ = rsinp, 



et deviennent des coordonnes polaires. Alors aussi on peut satisfaire la 

 condition (10), en prenant pour (p (u) et y^{v) deux fonctions telles que, pour 

 un module de r infrieur ou tout au plus gal l'unit , f (r) et ;( (r) soient 

 dveloppables en sries convergentes ordonnes suivant les puissances ascen- 

 dantes de r. En effet, supposons 



<p(r)= ao + a, r+ ajr'' +..., 



^'^^ ( X{r)= b,r+b,r^+, 



Les formules (7) et (10), jointes aux formules (12), donneront 



(i5) sr = a + a, r + ajM^/' -t- . . .- 



-+- b, iT + bjV* /'" -I-. . ., 



ou , ce qui revient au mme, 



(16) w = ao + a, re'' ' -+- a^r" e 



,2/>v-, 



,.e-/"'-'4_a_,/-='e-'/"^' 



