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 forme 



(3) - r=p, 



p dsignant une quantit constante ; et alors il ne s'agira plus que d'intgrer 

 une quation aux drives partielles de l'ordre m entre l'inconnue zs et les 

 variables indpendantes p, q, r, en assujettissant l'inconnue za vrifier cer- 

 taines conditions relatives une certaine valeur p de la variable r. Supposons, 

 pour fixer les ides, qu'en vertu de ces conditions, 



sr, D^ra^, D?sr,..., D"'"' sr 



doivent se rduire, pour r^=p^ des fonctions donnes des variables p, q. Si 

 d'ailleurs l'quation transforme renferme la drive partielle D"ar, et peut 

 tre rsolue par rapport cette drive ; on pourra dvelopper par le thorme 

 de Taylor la valeur de l'inconnue zs eu une srie ordonne suivant les puis- 

 sances ascendantes de r j, et l'on prouvera toujours de la mme manire, 

 non-seulement qne la srie obtenue est convergente quand le module de la 

 diffrence r p ne dpasse pas une certaine limite, mais encore que la somme 

 de cette srie convergente reprsente l'intgrale cherche. 



Puisque les fonctions donnes de/j, q, qui reprsenteront les valeurs de 



correspondantes r = p, peuvent d'ailleurs tre choisies arbitrairement, il 

 en rsulte que l'intgrale obtenue comme on vient de le dire renfermera 

 gnralement, ainsi qu'on devait s'y attendre, m fonctions arbitraires. Si, 

 pour fixer les ides, on suppose m = 2 , c'est--dire, si l'quation donne est 

 du second ordre, les deux fonctions arbitraires, introduites par les conditions 

 ci-dessus nonces, seront les valeurs de zs et de D^zs correspondantes r=p 

 On pourrait d'ailleurs remplacer ces deux fonctions arbitraires par celles 

 qui reprsenteraient les valeurs de ts correspondantes deux valeurs parti- 

 culires de la variable r; en d'autres termes , on pourrait assujettir l'intgrale 

 d'une quation du second ordre prendre des valeurs dtermines dans les 

 divers points situs sur deux surfaces qui serviraient d'enveloppes intrieure 

 et extrieure un mme solide. 



Lorsqu'on fait usage de coordonnes rectangulaires ou du moins de 

 coordonnes rectilignes x, j^ z, alors chaque point de l'espace xpond 

 un seul systme de valeurs de ar, ^, z, et rciproquement. Mais ces condi- 



