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 tre arbitrairement choisie; et par suite, sans que la surface dcrite soit al- 

 tre, le foyer pourra se dplacer sur une certaine courbe. M. Amyot prouve 

 que cette courbe, qu'il nomme avec raison la focale, est toujours renferme 

 dans un des plans principaux de la surface du second ordre. Il observe qu' 

 chaque position du foyer corj'espond une position particulire de l'axe di- 

 recteur, et nomme sjnjocale la courbe dcrite daus le plan de la focale par 

 le pied de cet axe. Il fait voir que la focale et la synfocale sont toujours 

 deux sections coniques de mme espce, qui offrent le mme axe principal 

 quand elles se rduisent deux paraboles , et dans le cas contraire , les 

 mmes axes principaux, par consquent le mme centre; cet axe, ou ces axes, 

 tant aussi l'axe principal ou les axes principaux de la section faite par le 

 plan des deux courbes dans la surface du second ordre, il prouve enfin que 

 les deux plans directeurs correspondants chaque foyer, sont perpendicu- 

 laires au plan de la focale , et forment avec les axes principaux de cette 

 courbe des angles gaux ; puis il discute les quations des focales et des syn- 

 focales qui peuvent renfermer les divers plans principaux d'une surface du 

 second ordre , et il arrive en particulier aux conclusions suivantes : 



j' ja focale et la synfocale sont gnralement relles sur deux plans prin- 

 cipaux d'une surface quelconque du second degr, et toujours imaginaires 

 sur le troisime pour les surfaces qui offrent trois plans principaux. 



Va dtermination et la construction de la focale peuvent s'effectuer fa- 

 cilement dans chaque cas. Supposons, pour fixer les ides, que la surface 

 donne soit un ellipsode. Alors, sur le plan du plus grand et du plus petit 

 axe , la focale sera une hyperbole qui aura pour foyers et pour sommets 

 les foyers des deux ellipses principales, dont l'axe commun concidera en 

 direction avec l'axe mme de la focale. Quant la synfocale, elle aura pour 

 asymptotes deux droites, qui formeront avec les asymptotes de la focale, un 

 systme de diamtres conjugus appartenants l'une des deux elhpses, sa- 

 voir, l ellipse situe dans leur plan, et elle aura pour sommets, non plus les 

 deux foyers de l'autre ellipse, mais les deux plans correspondants ces 

 foyers. 



>i Etant donnes la focale et la synfocale que renferme un plan principal 

 d'une surface du second ordre , si l'on coupe la fois la synfocale et la sur- 

 face par un nouveau plan panillle un autre plan principal, la section 

 faite dans la surface ne pourra offrir un centre, en se confondant avec une 

 ellipse ou avec une hyperbole, sans que la synfocale offre le mme centre. 

 Donc alors, le plan scant rencontrera la synfocale en deux points auxquels 

 correspondront deux foyers distincts, que l'on peut nommer avec M. Amyot 



