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stances. Donc, pour trouver les quations de ces deux plans fixes, il suffira 

 de dcomposer le reste obtenu en deux facteurs linaires, et d'galer ces 

 facteurs zro, en ayant soin d'y remplacer, quand ils deviendront imagi- 

 naires, y i par l'unit. 



I) Pour rduire une forme trs-simple l'quation de la surface donne, 

 il suffit, comme l'on sait, de faire concider les trois plans coordonns sup- 

 poss rectangulaires, ou du moins les deux plans qui renferment l'axe des jt, 

 avec les plans principaux de la siu'face, et de prendre en mme temps pour 

 origine le centre de la surface, si elle en a un, ou son sommet, dans le cas 

 contraire. Alors , si l'on fait passer dans le premier membre de l'quation 

 tous les termes du second degr, ce premier membre renfermera seulement 

 les carrs des trois coordonnes x^ jr, z, ou des deux coordonnes j^, z, 

 multiplis chacun par un coefficient constant, et le second membre sera 

 une quantit constante ou proportionnelle 1 abscisse x. D'ailleurs, comme 

 en retranchant de ce premier membre le coefficient de rduction multipli 

 par la somme de ces carrs, on devra faire disparatre au moins l'un d'entre 

 eux, le coefficient de rduction devra toujours se rduire l'un des trois 

 coefficients par lesquels ces carrs se trouvent multiplis dans le premier 

 membre. 



" Il importe d'observer qu'on peut toujours supposer, non-seulement 

 l'quation de la surface du second ordre rduite la forme trs-simple dont 

 nous venons de parler, mais de plus le coefficient du carr de l'ordonne z 

 rduit, dans cette mme (juation, 4'unit. Or, dans cette supposition, pour 

 tout foyer compris dans le plan des a?,^, le coefficient de rduction sera vi- 

 demment l'unit. Donc alors, pour obtenir la focale et la synfocale de la surface 

 renfermes dans le plan principal des x , j/ suffira de cljerclier la focale 

 et le lieu gomtrique des ples de la section principale faite dans la surface 

 par ce plan, en prenant d ailleurs pour coefficient de rduction l'unit mme. 

 D'ailleurs ce dernier problme est prcisment celui que nous avons dj 

 rsolu en nous occupant des foyers et des ples des courbes du second 

 degr. Donc, l'aide des rgles que nous avons traces, on pourra dterminer 

 la focale et la synfocale renfermes daus le plaa des x, j, qui peut tre l'un 

 quelconque des plans principaux de la surface donne. De cette seule obser- 

 vation l'on dduit immdiatement divers thormes que M. Amyot a 

 noncs, et qui sont relatifs aux foyers, aux ples, aux focales et aux syn- 

 focales d'une surface quelconque du second ordre. 



" Nous avons vu que, dans le cas o l'quation d'une surface du second 

 ordre se trouve rduite sa forme la plus simple, et par suite renferme 



