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Comme dans les formules (28) les constantes a, , S sont assujetties 

 seulement vrifier la premire des conditions ( 5), il est clair qu'tant donne 

 dans le plan des x,^ une ellipse ou une hyperbole, on peut choisir arbitrai- 

 rement le module Q et l'angle lojm par chacune des directrices avec un axe 

 principal. Cela pos , les remarques diverses que nous venons de faire entra- 

 nent videmment la proposition suivante: 



" i" Thorme. Soient donns dans le plan d'une ellipse ou d'une hy- 

 perbole deux axes fixes qui passent par le centre de cette courbe et for- 

 ment des angles gaux avec chaque axe principal. Soient d'ailleurs, pour un 

 module donn, F et P un foyer et un ple correspondants de la courbe, 

 auxquels rpondent des directrices parallles aux deux axes fixes. Le foyer F 

 sera le point de rencontre de la polaire correspondante au ple P avec la 

 perpendiculaire abaisse de l'origine sur une autre polaire qui appartiendra, 

 non plus l'ellipse ou l'hyperbole donne, mais une hyperbole ou 

 une ellipse dont le centre sera le mme, et dont les asymptotes ou les axes 

 quadratiques concideront avec les deux axes fixes. 



>i Observons encore qu'en supposant le coefficient de rduction diffrent 

 de l'unit, on pourra toujours choisir ce coefficient de manire faire passer 

 la focale ou le lieu gomtrique par un point quelconque du plan desx\j-. 

 Il en rsulte que, dans le mme plan, l'un des deux points P, F peut tre 

 pris arbitrairement. Mais, en vertu du thorme que nous venons d'noncer, 

 la position de l'un de ces points tant donne, la position de l'autre s'en d- 

 duira immdiatement. 



'1 Supposons maintenant que l'une des constantes |x, v, par exemple la 

 constante |u., se rduise l'unit. Alors la formule (3i) sera rduite 



(44) (X - x)' + ( j - y)^ = (or - ^y + v(j - -ny, 



et reprsentera une parabole dont l'axe principal sera parallle l'axe des x. 

 Le sommet de cette parabole sera l'origine mme des coordonnes, si l'on a 



(45) Y = VYi, X + y^ = ?" + v>3^ 



et alors la formule (44) deviendra 



(46) (i -v)y+2(|-x)x = o. 



D'autre part, l'quation gnrale d'uue parabole dont le soumiet concide avec 



