( 83i ) 



Cette courbe est la polaire de la focale , par rapport la conique pro- 

 pose. 



io. Toutes les synfocales jouissent des proprits d'un systme de coni- 

 ques qui passeraient toutes par quatre mmes points. 



Surfaces du second degr. 



Au thorme de gomtrie plane relatif au systme form d'une sectioii 

 conique et d'un cercle, nonc au commencement de cette Note, corres- 

 pond, dans l'espace, le thorme suivant, relatif au systme d'une surface du 

 second degr et d'une sphre : 



Quand une sphre coupe une surface du second degr suivant deux 

 cercles (rels ou imaginaires), le carr de la tangente mene d'un point 

 de la surface la sphre, est au produit des perpendiculaires abaisses de 

 ce point sur les plans des deux cercles, dans un rapport constant. 



La condition que la sphre coupe la surface suivant des courbes planes, 

 montre que ni le centre de la sphre, ni son rayon , ne peuvent tre pris ar- 

 bitrairement ; son centre doit tre dans un plan principal , et un centre ne 

 correspond qu'une sphre. - 



" Supposons que le centre soit tellement pris que le rayon de la sphre 

 soit nul , c'est--dire que la sphre se rduise un point ; appelons foyer ce 

 point, et plans directeurs les deux plans qui contiennent les courbes d'in- 

 tersection (imaginaires) de la sphre et de la surface; on aura ce thorme : 



') Le carr de la distance d'un point de la surface au foyer, est au ptx)- 

 duit des perpendiculaires abaisses de ce point sur les deux plans direc- 

 teurs, dans un rapport constant. 



Il nous reste dire quels sont les points qui peuvent tre considrs 

 comme des sphres de rayons nuls, et jouissant de cette propri^^t, que l'in- 

 tersection de chaque sphre et de la surface soit plane. 



>' Pour dterminer ces points, on observera que quand deux surfaces du 

 deuxime degr se coupent suivant deux courbes planes (relles ou imagi- 

 naires), on peut leur circonscrire deux cnes (rels ou imaginaires), mais 

 dont les sommets sont toujours rels. Dans le cas o l'intersection des deux 

 surfaces est une ligne double courbure (du quatrime ordre), la dvelop- 

 pable qui leur est circonscrite n'est plus l'ensemble de deux cnes , c'est une 

 surface d'un ordre suprieur dont M. Poncelet a dmontr diverses pro- 

 prits dans le supplment de son Trait des proprits projectiles des 



figures. ,u^..,-^[ ,,<' . . ,1' ,. ,; , ,,: 



"D'aprs cela, quand une sphre coupe une surface du second degr suivant 



