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'''ANALYSE MATHMATIQUE. Suv les Jonctiotis elliptiques de premire 

 espce; par M. Alfred Serret. (Extrait.) 



(Commissaires, MM. Liou ville, Lam.) 



I. Legendre , dans son Trait des jonctions elliptiques , a dmontr que 



les fonctions de la premire espce, lorsque l'angle du module est ^, sont 



exactement reprsentes par les arcs de la lemniscate : il est facile d'tendre 

 ce thorme et de prouver que les fonctions elliptiques de premire espce, 

 quel que soit l'angle de leur module, sont exactement reprsentes par les 

 arcs d'une courbe, dont la lemniscate n'est qu'un cas particulier, et qui jouit 

 de cette proprit que le produit des distances d'un de ses points deux points 

 fixes est constant. 



L'quation de cette courbe est en coordonnes polaires 



r* aa*/-* cou 2t -f- (a* ^*) =A- 



Elle affecte trois formes tout fait diffrentes, suivant que le rapport - est 



infrieur, gal ou suprieur i ; dans le cas de - = i , elle concide avec la 



lemniscate. 



" IL Si - < I, on posera =^ sin iO; la courbe est alors forme de deux 



boucles fermes, gales entre elles, et l'angle a est prcisment celui que 

 forment les tangentes issues du centre. Si l'on dsigne par s (<o, t^) et a (^o, <) 

 les arcs intercepts par les rayons vecteurs correspondants aux azimuts t^ 

 et <,, on aura 



,, ., b^ i ' \cos2t+ Jcos'ut cos'29 ., 



S{to, tt) = - f ' , :^ dt, 



" i/ ' ycos'a/ cos'a 



,, , . i' / '' VC0S2? v'cos' ar cos^ 26 ,^ 



O'(<05<0=- / / = dt, 



"^ J U ycos'af cos'29 



d'o l'on dduit aisment 



* (0, t,) + ff {to, t,) = 2^ ^ r ' , * 



" t/ '. V *^o* 2f cos 26 

 S (<o, <0 - g (<o, t,) = a^ ^ T' -7= '^'^ 



" J t^ y/ cos 2? + COS 28 



