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 non moins fcond que le prcdent, et qui renferme, comme cas particulier, 

 le thorme des anciens concernant les quadrilatres inscrits aux coniques : 



tant donnes , dans un plan , trois lignes du second ordre ajant 

 les mmes points d'intersection , si par un point A, pris volont sur 

 l'une d'elles (c) , on mne des parallles des droites donnes de posi- 

 tion, l'une coupant la courbe {c') en deux points c,d,et l'autre coupant 

 la courbe (c") en deux points e,y, les produits de segments Ac x Ad, 

 n Ae X Af, seront toujours entre eux dans un rapport constant (i). 



Substituez, l'une des trois courbes, le systme de deux droites devenues 

 les scantes relles ou idales communes aux deux autres; supposez, de plus, 

 que l'une de ces dernires courbes se rduise un cercle ou un point, 

 et vous retomberez sur le thorme particulier de M. Chasles, rappel au 

 commencement de cette Note; car, dans la proposition ci-dessus, on peut 

 toujours remplacer les segments obliques, relatifs aux scantes communes, 

 par des perpendiculaires abaisses, du point A de la courbe (c), sur leurs 

 directions respectives. 



M. Sturm n'a pas fait connatre , dans la partie de son Mmoire qui a t 

 mise au jour, l'extension dont sont susceptibles les thormes ci-dessus pour 

 le cas de trois surfaces du second degr qui ont les mmes intersections 

 planes ou double courbure; mais, outre que cette extension est, par elle- 

 mme, vidente et comporte identiquement le mme genre de dmonstra- 

 tion, elle a encore t indique, d'une manire trs-explicite, dans divers 

 Mmoires de Gomtrie publis peu d'annes aprs celui de M. Sturm. 



Supposez donc que l'une des trois surfaces proposes se rduise deux 

 plans de sections, relles ou imaginaires, communes aux deux auti'es surfaces, 

 auquel cas celles-ci seront inscriptibles un mme cne du second degi', 

 dont le sommet, toujours rel, conservera, par rapport la direction ind- 

 finie des plans dont il s'agit, des relations indpendantes de la ralit de leurs 

 intersections avec les surfaces proposes (2); supposez, plus particulirement 

 encore, que l'une des deux surfaces restantes soit une sphre, ce qui exige 

 que ses sections planes, communes avec la troisime, soient circulaires, et que 

 le cne droit, circonsci-it toutesdeux, aitsonsommet silu dans l'un des plans 

 principaux de cette troisime surface^ et vous retomberez sur les thormes 



(i) Fb/ez la page 178 du tome XVII des ,^/afc^ de Mathmatiques. En vertu de li thorie 

 des polaires rciproques, ces propositions ont leurs analogues vidents pour le cas o l'on sub- 

 stitue la considration des tangentes celle des intersections. 



(a) Trait des proprits projectives des f^urcs, Supplment, pages 378, 38o et 4o4- 



