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En terminant cette Note dj si tendue, je ferai remarquer que les tho- 

 rmes de M. Sturm , relatifs aux lignes du second degr qui ont les mmes 

 intersections, relles ou imaginaires, sur un plan, s'tendent, ainsi que leurs 

 corrlatifs dans les surfaces de ce degr, aux systmes analogues de courbes 

 planes ou de surfaces gomtriques d'un degr quelconque , et qui peuvent 

 d'ailleurs tre formes de la runion de plusieurs courbes ou surfaces dis- 

 tinctes de degrs infrieurs. J'ai annonc cette extension dans l'introduction 

 d'un Mmoire sur l'analyse des transversales , publi dans le tome VIII du 

 Journal de M. Crellc ; sa dmonstration purement gomtrique se trouve 

 expose dans la partie de ce Mmoire encore indite , et qui renferme 

 d'autres thormes analogues, ainsi que leurs rciproques polaires. Pour 

 l'tablir, j'ai d , au pralable , tendre la dfinition mme et les proprits de 

 Vinvolution, telle que l'avait d'abord envisage Desargues, au systme de trois 

 groupes (A), (B),(C), de m points chacun, rangs en ligne droite et qui 

 jouissent de ce caractre remarquable: 



u Si l'on forme, respectivement, les produits de m segments intercepts 

 "^ entre l'un quelconque des points du groupe (A), par exemple, et les m 

 points appartenant respectivement chacun des deux autres groupes (B) 

 et (G), le rapport de ces produits restera le mme pour un autre point 

 choisi volont dans le premier groupe. De plus, cette galit de rap- 

 ports aura lieu pareillement si l'on substitue aux points du groupe (A), 

 qui servent d'origine aux segments, ceux de tout autre groupe. 



Gela pos, on peut noncer ces thormes gnraux : '^"'' 



,,,( Quand trois courbes, de mme degr m, situes sur un plan, ou trois 

 surfaces, de mme degr m , situes dans l'espace, ont les mmes points ou 

 les mmes lignes d'intersection , rels ou imaginaires , toute transversale 

 rectiligne les rencontre en trois systmes de m points, qui constituent une 

 involution. Supposant, d'ailleurs, que cette transversale soit dirige tangen- 

 tiellement l'une quelconque des courbes ou surfaces proposes, le point de 

 contact correspondant deviendra un centre de moyennes harmoniques (i), 

 commun aux groupes respect ijs de m points, appartenant aux deux autres 

 courbes ou surfaces. 



" Supposant encore que , de l'un quelconque des points appartenant nos 



(i) La doctrine des centres de moyennes harmoniques se trouve expose dans un Mmoire 

 prsent, le 8 mars 1 824 , l'Acadmie , et qui depuis a t imprim dan le tome III, page 2 1 3, 

 du Journal de M. Crelle. , , > " . i 1^ > .> , . 1., - j 



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