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regarde comme une seule et mme question d'intgrer 1 quation diffren- 

 tielle leve trois variables, qui ne satisfait pas aux conditions d'intgrabi- 

 lit, et celle d'intgrer l'quation deux drives partielles du premier 

 ordre. Cette dcouverte m'a toujours paru un beau rsultat, et mon attention 

 y a t ramene par des recherches d'un caractre fort diffrent, sur la forme 

 trouve par M. Hamilton, pour les intgrales des quations de la dyna- 

 mique, ainsi que par des quations drives partielles, dduites de cer- 

 taines quations diffrentielles ordinaires par M. Hamilton et par M. Jacobi. 



" La thorie des quations renfermant plus de deux drives partielles du 

 premier ordre a fait depuis Lagrange des progrs considrables, principa- 

 lement dus MM. Pfaff, Cauchy et Jacobi : de mon ct je me suis efforc 

 d'y concourir dans un Mmoire sur la variation des constantes arbitraires, 

 et dans une Note soumise l'Acadmie le 3 mai 1842 : ces deux crits me 

 paraissent avoir rattach utilement au calcul des variations la thorie de 

 l'intgration de l'quation diffrences partielles du premier ordre, consi- 

 dre au point de vue de M. Jacobi: de nouvelles et heureuses recherches 

 de M. Cauchy ont encore montr Les avantages que l'on peut attendre de 

 l'algorithme des variations, pour traiter cette matire. En crivant le M- 

 moire que j'annonais dans cette Note, j'ai d examiner si la relation de 

 Monge tait troitement limite aux quations deux drives du premier 

 ordre, les seules que la Gomtrie puisse clairer de ses analogies. Cette 

 recherche m'a fait reconnatre que pour une quation contenant un nombre n 

 de drives partielles du premier ordre , non linaires, il existe une certaine 

 quation + i diffrentielles ordinaires, qui jouit de la proprit re- 

 marque par Monge, pour le cas de deux variables indpendantes: cette 

 seule formule n + i diffrentielles ordinaires leves tant donne , je 

 montre qu'il existe une voie de retour l'quation contenant n drives par- 

 tielles du premier ordre : son intgrale fournit aisment les intgrales 

 constantes arbitraires de l'quation k n+ i diffrentielles ordinaires. Ce 

 thorme, appliqu aux quations traites par MM. Hamilton et Jacobi, 

 reproduit, par vme marche trs-diffrente , leurs quations drives par- 

 tielles, quand on choisit convenablement la variable principale : on voit 

 ainsi se relier deux ordres de considrations qui avaient puis leurs principes 

 des sources fort loignes. 



Le caractre de rciprocit qu'offrent ces deux quations drives par- 

 tielles et diffrentielles ordinaires est en lui-mme ua fait analytique re- 

 marquable , et son principe est plus tendu que l'application qu'en reoivent 

 les quations drives : il fournit une mthode pour former des quations r- 



