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dit qu'il va oprer ininutiatini , c'est--dire par les fractions , expression qui 

 se rapporte aux fractions romaines en usage dans les Traits de l'Abacus. Cette 

 pice est de la premire moiti du xii^ sicle ; car on sait que Hermanu 

 Contractns est mort en io54. 



Un fragmentsur la musique , dans le manuscrit de l'abbaye de Saint-Em- 

 meran que nous avons dj souvent cit, est intitul : Ratio de mensuris 

 monochordi secundum auream divisionem. Or l'expression divisio aurea 

 appartient aux Traits de l'Abacus , o elle dsigne une des deux mthodes 

 par lesquelles se faisait la division, dont la seconde avait le notn de rgle de 

 fer, divisio ferrea. Les mots secundum auream divisionem signifient donc ici 

 que les calculs ont t faits dans le systme de l'Abacus. 



On trouve dans le pome adress au roi Robert, par Adalbron, vque 

 de Laon , les deux vers : 



Quis signis Abaci numerando retexere possit 

 Servorum studium , cursus , (antosque labores (i). 



" Ces mots, signis baci numerando , se l'apportent certainement au 

 systme de l'Abacus et montrent qu'on le pratiquait alors , c'est--dire au 

 commencement du xi* sicle. 



A cette poque, on appelait les calculateurs abacistcs (a), expression 

 qui indique qu'ils faisaient leurs calculs dans le systme de l'Abacus, de 

 mme que la manire de compter avec les jetons, appels calculi , avait 

 donn lieu l'expression calculator, et de mme, aussi, que l'usage du sable 

 pour y tracer les calculs avait donn lieu l'expression numerorum 

 arenarii par laquelle TertuUen dsigne ceux qui enseignaient aux enfants les 

 premiers lments du calcul. 



" Enfin, Bernelinus dit, dans la prface de son Trait de l'Abacus, que 

 les Lorrains sont trs-exercs dans ce mode de calcul. 



Ces documents prouvent, jusqu' l'vidence , que le systme de l'Aba- 

 cus n'a point t une simple spculation arithmtique, mais qu'il tait la 

 mthode pratique dont les mathmaticiens se servaient; on voit en outre que 

 cette mthode tait dj devenue d'un usage vulgaire dans certaines contres, 



(i) D. Bouquet ; Recueil des hisioricns des Gaules , t. X. 



(2) Auteurs chez lesquels on trouve l'expression abacista : Gerbert, dans sa Gomtrie, 

 voir le Thsaurus anecdot. noviss. de Pez, t. III, premire partie, p. 3o. Guillaume de Mal- 

 mesbuiy, De gestis regum anglorum ; liv. 2. Gerland et Radulphe, dans plusieurs passages 

 de leurs Traits de l'Abacus. La 6"^ pice duMs. gS d'Is.Vossius, de la bibliothque de Leyde. 



