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particulieres d'une meme forme determinee. Les cas les plus simples qu'il 

 faut d'abord considerer, sont ceux ou la fonction inconnue ne depend 

 que du temps et d'une autre variable independante qui fixe la position 

 d'un point quelconque du corps. Alors chaque terme de la serie qui repre- 

 sente cette fonction satisfait separement a 1'equation a differences par- 

 tielles qui a lieu pour tons les points du corps , et k des equations parti- 

 culieres qui ont lieu a ses limites; le terme general de la serie est le 

 produit de deux quantites distinctes : la premiere est une exponentielle 

 dont 1'exposant est egal au temps multiplie par un certain parametre , ou 

 bien c'est le sinus ou le cosinus du temps multiplie encore par un para- 

 metre ; la seconde quantite est une fonction de la variable independante 

 autre que le temps, et du meme parametre, laquelle depend d'une equa- 

 tion differentielle ordinaire de forme lineaire. On obtient cette Equation 

 en substituant dans 1'equation k differences partielles, a la place de la 

 fonction inconnue, le produit des deux facteurs dont il s'agit, et suppri- 

 mant le premier, qui se trouve commun a tous les termes de 1'equation. 

 Gette seconde fonction, qui ne renferme pas le temps et qu'on pent multiplier 

 par un coefficient constant arbitraire , doit aussi satisfaire aux equations 

 aux limites; et de la resulte une equation transcendante determinee, dont 

 1'inconnue est le parametre qui multiplie le temps dans 1'exponentielle, ou 

 sous le sinus ou sous le cosinus, et dont les racines, en nombre infini, 

 sont toutes les valeurs de ce parametre, valeurs qu'il faut substituer suc- 

 cessivement dans le terme general de la serie. On acheve ensuite la solu- 

 tion en determinant par des methodes connues les coefficients arbitraires 

 de cette serie , de telle sorte qu'a 1'origine du temps elle represente 1'etat 

 initial de la fonction dont on cherche 1'etat variable. 



Ces problemes, meme restreints, comme nous venons de ledire, au 

 cas d'une seule dimension, deviennent beaucoup plus difficiles quand le 

 corps dont on s'occupe n'est pas homogene dans toutes ses parties, c'est- 

 a-dire quand les qualites specifiques, telles que la densit6 ou 1'epaisseur, 

 la capacit6 de chaleur, la conductibilite, 1'elasticite , sont variables d'un 

 point a un autre, suivant des lois quelconques. Les equations du probleme 

 etant posees, il faut toujours commencer, comme precederament , par 

 chercher des valeurs particulieres de la fonction inconnue qui satisfassent 

 a toutes ces equations, a 1'exception de celle qui exprime 1'etat initial, 

 qu'on suppose arbitraire. Une quelconque de ces valeurs particulieres est 

 encore le produit de deux quantites de meme nature que dans le cas de 

 I'homogeneite ; mais ici Ton esrt arret6 d'abord par la difficulte d'iulegrer 



