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probleme et leur a applique ses methodes generates d'integration; 

 mais il ne s'est pas occupe des propriets de 1'equation transcen- 

 dante et des integrates particulieres que j'ai cru devoir etudier. Je 

 vais indiquer sommairement les principaux resultats auxquels je suis 

 arrive. 



Je cherche d'abord suivant la methode connue que j'ai rappelee plus 

 haul, des valeurs particulieres de la fonction qui designe la tempera- 

 ture variable d'un point quelconque de la barre; je suppose done cette 

 fonction egale au produit de 1'exponentielle e~" par une fonctiou V de 

 1'abscisse x et du parametre indetermine r. Liquation transcendante en r 

 a laquelle on arrive n'a pas de racines imaginaires , ainsi que M. Pois- 

 son 1'a demontre pour cette equation et en general pour toutes celles 

 qui proviennent des problemes de la physique mathematique. Je fais 

 voir en outre que la meme equation n'a pas de racines egales et qu'elle 

 n'a pas de racines negatives. Je prouve ensuite, a 1'aide de ma theorie 

 sur les equations differentielles lineaires du second ordre, qu'elle a une 

 infinite de racines positives dont la plus petite peut etre zero dans un 

 cas particulier. En substituant chacune de ces racines] b. la place du 

 parametre indetermine dans la formule ~Ve~", on a done une infinite 

 de solutions particulieres, satisfaisant a 1'equation a differences partielles 

 et aux deux equations qui ont lieu aux extremites de la barre. Si les 

 temperatures initiales sont exprimees par la fonction V qui correspond 

 & Tune des racines de 1'equation en r, les temperatures variables de 

 lous les points seront alors exprimees par le seul terme Ve~": elles seront 

 done a chaque instant proportionnelles a leurs valeurs initiales , et 

 pour des temps croissants en progression arithmetique , ces tempera- 

 tures, abstraction faite de leur signe lorsqu'elles seront negatives, de- 

 croitront en progression g^ometrique d'autant plus rapidement que la 

 racine r sera plus grande. Les proprietes qui distinguent ces etats 

 simples en nornbre infini, ou les temperatures variables sont exprimees 

 par un seul terme, ne sont autres que celles des fonctions V correspon- 

 dantes aux differentes racines de Tequation transcendante. Voici les plus 

 remarquables. 



Aucune de ces fonctions ne peut s'evanouir sans changer de signe. 



La premiere de ces fonctions , celle qui repond a la plus petite racine 

 conserve constamment le meme signe dans toute 1'etendue de la barre. 



La seconde , qui repond a la deuxieme racine , change de signe une 

 fois pour un point situe entre les deux extremites de la barre. 



