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temperatures sera le second de nos etats simples , de sorte que les tempe- 

 ratures finales seront superieures a celles du milieu dans une portion de la 

 barre inferieure dans la portion restante. 



En 1'assujettissant a de nouvelles conditions, la fonction qui represente 

 les temperatures initiates, 1'etat final pourra se reduire a tel etat simple 

 qu'on voudra. Toutefois je pense que ce resultat mathematique ne pour- 

 rait guere etre verifie par 1'experience, parce que les equations de la cha- 

 leur nesont pas d'une exactitude absolue. En general, les variations de signe 

 qui peuvent exister dans les temperatures initiales doivent, le temps crois- 

 sant, disparaitre les unes apres les autres. 



J'ai examine de quelle maniere cette disparition s'opere et je suis arrive 

 a un theoreme tres complet qui comprend le cas ou ces variations de signe 

 ne disparaitront pas toutes. J'en ai deduit, commecorollaire, cette propriete 

 nouvelle et curieuse de la fonction qu'on forme en ajoutant ou superpo- 

 sant un nombre quelconque de solutions particulieres, le temps ayant une 

 valeur determinee quelconque. Cette fonction s'evanouit en changeant de 

 signe entre les extremites de la barre au moins autant de fois que celui de 

 ses termes dont 1'indice est le moindre; elle s'eVanouit en changeant ou ne 

 cbangeant pas de signe, au plus autant de fois que celui de ses termes dont 

 1'indice est le plus grand. Dans cet enonce, une variables qui annule la 

 fonction dont il s'agit et quelques-unes de ses differentielles successives 

 doit etre consideree comme une racine multiple et comptee pour autant de 

 racines qu'il y a d'unites dans 1'ordre de la premiere des differentielles 

 qu'ellen'annule pas, si cette valeur de .rest comprise entre celles qui repon- 

 dent aux deux extremites de la barre ; mais si la fonction dont il s'agit et quel- 

 ques-unes deses differentielles par rapport a .rs'annulentpour 1'une des va- 

 leurs de x qui repondent aux extremites de la barre, le degre de multiplicite 

 de cette valeur de x est seulement la moitie de 1'ordre de la premiere dif- 

 ferentielle qui ne s'annule pas, cet ordre etant alors un nombre pair. 

 M. Liouville a presente dernierement a 1'Academie une demonstration di- 

 recte de ce theoreme qui n'etait pour moi qu'un corollaire du precedent. 

 J'en donne aussi une autre demonstration directe dans mon memoire. 

 M. Liouville a fait usage du meme theoreme dans un travail important qu'il 

 a public dans le numero de juillet de son Journal. 



Ces resultats s'etendent, avec quelques legeres modifications, au 

 mouvement lineaire de la cbaleur dans un globe ou dans un cylindre 

 compose de couches concentriques infiniment minces, telles que la 

 densite, la capacite de chaleur et la conductibilite , sont les memes pour 



