^ Tj ( 44o ) 



<Tabord par quelques geometres, ces notations out (He adoptees depuis 

 par tous ceux qui cultivent la theorie des nombres. 



Les congruences, qui ne sont, en d'autres termes, que des equa- 

 tions indetenninees , dans lesquelles 1'une des inconnues au moins est a la 

 premiere puissance seuleraent, ont occup6 de tout temps les geometres. 

 Depuis 1'equation du premier degre a deux inconnues, resolue d'abord 

 paries Hindous d'une maniere generate, jusqu'a ces congruences de degres 

 plus eleves qui ont conduit M. Gauss a de nouvelles divisions de la 

 circonference , on a traite a plusieurs reprises, et par des melhodes di- 

 verses, cette classe d'equations. Mais ces methodes etaient toujours parti- 

 culieres, et ne permettaient ni de generaliser les resultats , ni de les ecrire 

 par 1'analyse algebrique. Cependant des travaux plus recents ont permis 

 de ramener la theorie des congruences et celle des residus a la theorie des 

 equations binomes et des fonctions circulates. C'est en s'appuyant sur ce 

 rapprochement, et sur une formule generale dejaconnue, que M. Lebesque 

 est parvenu a des resultats interessants. II a d'abord demontre d'une ma- 

 niere simple et generale un theoreme qui fait la base de la theorie des 

 residus quadratiques. Ce theoreme, que M. Legendre avait enonce le pre- 

 mier, et auquel il avait donne le nom de loi de reciprocite, a etd demontre 

 deja de plusieurs manieres ; mais la demonstration de M. Lebesque n'en a 

 pas moins d'interet , car elle est la seule qui d^coule immediatement de la 

 theorie g6n6rale des congruences par une m6thode tout analytique, et 

 sans 1'emploi de ces artifices, qui ont empeche si long-temps la theorie des 

 nombres de se Her a 1'analyse algebrique. 



Apres avoir demontre la loi de reciprocite, M. Lebesque a applique 

 la meme methode aux residus cubiques et biquadratiques, et, quoique 

 dans ce genre de recherches les difficultes aillent toujours en augmentant 

 avec les exposants des puissances, il est parvenu a des resultats fort re- 

 marquables. Parmi plusieurs theoremes nouveaux qu'il a deduits de son 

 analyse, nous citerons specialement deux propositions fort generates, qui 

 avaient ete pubiiees d'abord sans demonstration par MM. Gauss et Jacobi. 

 M. Gauss avait, il est vrai, demontre depuis son theoreme; mais M. Le- 

 besque a eu le merite de le d6duire d'une proposition unique par une 

 methode uuiforme et generale, et c'est en cela surtout que consistait la 

 difficults, comme le savent tous ceux qui ont cultive 1'analyse indeter- 



rmnee. , ( . , /i itrriyiij ui 



Nous avons dit en commencant que M. Lebesque etait parvenu a de 

 nouveaux resultats en partant d'une formule generale deja connue; mais 



