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quand on vent resoudre la plupart des questions physico-mathematiques, 

 consists a representer I'integrale g^nerale fie ces equations par la somme 

 d'un nombre infini d'integrales particulieres contenant chacune une ou plu- 

 sieurs constantes arbitraires, et a disposer ensuite de ces constantes de 

 maniere a satisfaire aux conditions definies propres a cbaque cas. Suppo- 

 sons par exemple qu'il s'agisse de calculer les lois du mouvement de la 

 chaleur dans une barre heterogene AB primitivement echauffee d'une rna- 

 niere quelconque. La temperature u du point de cette barre dont 1'abs- 

 cisse est x sera une fbnction de cette abscisse x et du teraps t : elle devra 

 satisfaire a une Equation aux differences partielles indefinie et en outre a 

 certaines conditions definies relatives aux extremites A et B : de plus il 

 faudra qu'en posant fc=o, c'est-a-dire en se reportant a 1'origine du refroi- 

 dissement, on trouve la temperature u egale a une fonction donnee/ (oc) 

 qui representera la loi des temperatures initiales. 



Cela pose, on cherchera d'abord une integrale particuliere qui satis- 

 fasse seulement a 1'equation aux differences partielles et aux conditions 

 definies relatives aux extremites A, B : cette integrale se compose du pro- 

 duit d'une exponentielle e~", dans laquelle le temps t se trouve en expo- 

 sant multiplie par un certain parametre r, et d'une fonction V de 1'abs- 

 cisse x, laquelle fonction est 1'integrale d'une equation differentielle du 

 second ordre : elle est done de la forme f^e~", et elle renferme implicite- 

 ment une consiante arbitraire. Le parametre r doit etre choisi parmi les 

 racines d'une certaine equation transcendante <& (r) o. M. Poisson a 

 demontr6 que ces racines sont toutes reelles et positives, et M. Sturm a 

 fait voir en outre qu'elles sont inegales et en nombre infini. Ce dernier 

 geometre a soumis a une etude approfondie les diverses fonctions V qui 

 repondent a chacune d'elles. II a trouve, par exemple, que celle qui 

 repond a la n" racine s'evanouit et change de signe precisement (n i) 

 fois lorsqu'on fait croitre 1'abscisse x depuis la valeur qu'elle possede a 

 1'extremite A de la barre jusqu'a celle qu'elle possede a 1'autre extremite B. 

 Les recherches de M. Sturm sur ce sujet viennent de paraitre dans mon 

 Journal. Je me felicite d'avoir le premier rendu justice a ses deux 

 rnernoires que la posterity impartiale placera a cote des plus beaux me- 

 inoires de Lagrange. 



En representant maintenant Tintegrale generate de 1'equation aux 

 differences partielles par la somme de toutes les integrales particulieres 

 precedemment obtenues, on parvient a representer 1'etat initial de la 

 barre a 1'aide d'une determination convenable des constantes arbitraires 



