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qu'elles renferment implicitement. Et par-la on est conduit a developper 

 une fonction quclconque f(x) en une serie formee par la somme <le 

 toutes les fonctions V dont nous avons parle plus haul. Dans son grand 

 ouvrage sur la chaleur, publie 1'annee derniere, M. Poisson avail signale 

 commeutile et comme difficile, la recherche d'une demonstration propre 

 a etablir directement et d'une maniere rigoureuse, la possibilite d'un 

 tel developpement. Mais si, conside'rant en elle-meme, et abstraction 

 faite de son origine, la serie par laquelle les geometres ont represente 

 le developpement de f(x) , on en cherche la valeur, on trouve que cette 

 valeur est precisement f(x}, du moms pour les abscisses comprises dans 

 1'etendue de la barre AB. C'est ce que j'ai prouve dans un Memoire 

 envoye a P Academic le 3o novembre i835, et imprime dans ie Cahier de 

 juillet de mon Journal. Des-lors il ne reste plus dans la question du mou- 

 vement de la chaleur le long d'une barre heterogene aucune difficulte , 

 du moins quand la serie qui exprime 1'etat variable des temperatures est 

 convergente. 



J'attache , je dois 1'avouer, beaucoup d'importance a la methode 

 simple dont j'ai fait usage pour sommer la serie dans laquelle f(x] se 

 developpe : cette methode est fondee sur les proprietes memes des 

 fonctions V decouvertes par M. Sturm, et Ton peut en deduire aussi une 

 demonstration nouvelle de la realite des racines de 1'equation <zr(r) = o. 

 Etendre cette m6thode a d'autres equations aux differences partielles, et 

 en montrer ainsi la generalite , tel est le but que je me propose dans le 

 present Memoire. 



L'equation que j'ai considered est celle-ci :-^=-^. Elle differe de 



celle qu'on rencontre dans la Theorie de la Chaleur, en ce que la de- 



rivee seconde -. est remplac^e par la derivee troisieme -^,, On suppose 

 dx* dx> 



du 

 de plus que et -j- s'evanouissent pour une abscisse nulle, et que u 



s'evanouit encore pour une abscisse donnee /. Enfin , quand <=o, on 

 doit avoir = f( x }i entre les limites o et / de la variable x. 



On trouvera , comme ci-dessus, une infinitd d'integrales particulieres 

 de la forme Ve~", satisiaisant a toutes les conditions du probleme, ex- 

 cepte a celle de Petal initial u = f(x) pour t = o. Mais la fonction V 

 sera fournie par 1'integration d'une Equation differentielle du troisieme 

 ordre, et la realit6 des racines de 1'equation ^(r)=o, ne pourra plus 



